Pergeseran Paradigma dalam Matematika [tutup]
dalam fisika ada beberapa revolusi atau pergeseran paradigma yang secara fundamental mengubah medan. Salah satu contohnya adalah revolusi copernican dan perubahan menyeluruh dari pandangan ptolemaic ke heliosentris.
Mengingat bahwa matematika bekerja dari aksioma, saya pikir tidak mungkin asumsi yang salah masuk ke dalam kanon lapangan. Selain itu, selama pendidikan matematika saya (sebagai fisikawan), saya memiliki perasaan, bahwa matematika berkembang secara terus menerus dari bahasa Yunani hingga saat ini, selalu menambahkan pengetahuan baru di atas yang lama.
Oleh karena itu pertanyaan saya adalah, apakah ini salah dan ada pergeseran paradigma tertentu atau interpretasi ulang radikal dari hasil sebelumnya dalam sejarah matematika, atau apakah itu pertumbuhan pengetahuan yang berkelanjutan?
Tambahan
Telah ada pertanyaan ini , yang meminta pergeseran filosofis dalam matematika. Namun, saya pikir ini berbeda dari yang satu ini, karena saya mencoba memahami apakah tubuh pengetahuan matematika tumbuh secara linier atau terputus-putus pada titik-titik tertentu.
Jawaban
Saya kira kita bisa membedakan "revolusi" yang menguburkan orang mati (bisa dikatakan) dari "pergeseran paradigma" (di mana permainan berlanjut, dan pekerjaan yang dilakukan dalam gaya lama tidak dihapuskan tetapi tidak lagi terlihat menarik atau penting untuk dikejar).
Saya kira pernah ada anggapan bahwa pengerjaan ulang analisis abad ke-19 tanpa infinitesimals adalah revolusi yang menggantikan kepalsuan / inkoherensi (itulah sebabnya berbagai analisis non-standar yang merehabilitasi infinitesimals - semacam! - datang sebagai kejutan yang menarik seratus dan sesuatu tahun kemudian). Perkembangan teori himpunan adalah sebuah revolusi, yang menunjukkan bahwa teori yang koheren (dari "complete infinities") mungkin saja ada di mana sebelumnya dianggap hanya mungkin ada kepalsuan / inkoherensi.
Tapi kasus semacam ini pasti merupakan pengecualian (dalam matematika bagaimanapun juga). Pergeseran paradigma tidak perlu melibatkan anggapan bahwa apa yang terjadi sebelumnya salah . Sebaliknya, konsep-konsep baru diperkenalkan, masalah-masalah baru dapat diangkat, pendekatan-pendekatan baru dipandang sebagai sesuatu yang sangat menarik / bermanfaat; contoh baru mulai dianggap sebagai paradigma yang harus ditiru, dan sebagai pengaturan standar yang digunakan untuk menilai solusi masalah. Perkembangan aljabar abstrak pada abad terakhir, misalnya, tampaknya akan menjadi contoh paradigma pergeseran paradigma semacam ini ...!
Matematika bukanlah disiplin aksiomatik. Salah satu cara membuka bidang baru adalah dengan mengungkap contoh-contoh yang memiliki kesamaan dan tampaknya mengarah pada teori baru.
Ambil contoh homologi. Ini dilakukan oleh Eilenberg & Steenrod. Tetapi jika orang tidak menemukan nomor Betti, belumkah Poincare menemukan homologi dan tidak Noether menunjukkan bahwa nomor Betti lebih baik dianggap sebagai kelompok tidak akan ada sesuatu untuk aksioma.
Hilbert mengatakan kurang lebih sama dalam Geometry & the Imagination dimana dia mengklasifikasikan pemikiran deduktif, yaitu pemikiran yang berasal dari bentuk aksiomatik urutan yang lebih rendah dari pada pemikiran induktif yang dia klasifikasikan sebagai bentuk pemikiran ilmiah yang sebenarnya.
Secara pribadi, perubahan paradigma kunci bagi saya adalah pengenalan pemikiran teori-kategori ke dalam matematika dan juga menunjukkan kesinambungan pemikiran juga. Misalnya, segitiga ditemukan lebih awal, dengan menambahkan arah ke sisi-sisinya kita memiliki hukum penjumlahan vektor dan kemudian dengan membiarkan sisi-sisinya melengkung, kita dapat menganggapnya sebagai panah teori-kategori. Ini juga mengungkapkan: kita dapat menganggapnya sebagai vektor non-Euclidean dan dalam ruang panjang di mana di antara dua titik ada geodesi unik kita dapat mengangkat geodesik yang diarahkan ke dalam vektor semacam itu.