Persamaan Inviscid Burgers: menggambar kejutan [duplikat]

Question

Pecahkan persamaan Burgers $$ \left\{\begin{aligned} u_{t}+uu_x &=0 \quad \text { for } \quad t>0 \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \end{aligned}\right. $$ dengan $u=u(x,t)$ dan kondisi samping $u(x,0)=-x$.

Saya menyadari bahwa pertanyaan serupa dengan kondisi awal u = x telah ditanyakan sebelumnya, dan menanyakan ini karena saya bertanya-tanya apa perbedaannya ketika garis karakteristik diset untuk menyatu.

Answer 1

Dari teorema fungsi implisit kita memiliki yang berikut ini

$$u_t+uu_x = 0 \implies \frac{dx}{dt}=u$$

Jadi dengan kata lain, karakteristik lereng bergantung pada nilai $u$. Dengan$u=x$, Anda dapat melihat bahwa karakteristik yang dimulai dari negatif $x$ bergerak ke kiri (kemiringan negatif) dan sebaliknya untuk positif $x$. Bisakah Anda menjelaskan perilaku tersebut$u=-x$ sebagai gantinya?

Pertanyaan bonus, secara teknis kejutan dalam kedua situasi dapat dipilih menjadi apa saja, tetapi bagaimana seseorang memilih solusi entropi maksimal untuk keduanya $u=x$ dan $u=-x$ ?