Pertanyaan Homotopi Dasar
Saya mulai membaca buku "Teori Homotopy Rasional" oleh Yves Felix, Stephen Halperin, J.-C. Thomas dan saya memiliki pertanyaan singkat tentang permulaannya (yang hanya menyangkut teori homotopi dasar dalam ruang dan bahkan teori homotopi rasional). Buku ini membuktikan hasil yang disebut sebagai "Whitehead's Lifting Lemma" sebagai Lemma 1.5 (p. 12):
Misalkan diberi diagram (tidak harus komutatif): \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z , \ end {array} bersama dengan a dengan homotopi$H: A \times I \rightarrow Z$ dari $\psi i$ untuk $f\varphi$.
Menganggap $(X,A)$ adalah relatif CW-kompleks dan $f$adalah kesetaraan homotopi lemah. Kemudian$\varphi$ dan $H$ dapat diperpanjang masing-masing ke peta $\Phi: X \rightarrow Y$ dan homotopi $K: X \times I: \rightarrow Z$ dari $\psi$ untuk $f \Phi$.
Kemudian buku berlanjut dengan beberapa akibat wajar, dan pertanyaan saya adalah: Bagaimana pernyataan berikut ini merupakan akibat wajar dari Lifting Lemma Whitehead?
Jika $(X, A)$ adalah relatif CW-kompleks dan $A$ memiliki tipe homotopi kompleks CW $X$ memiliki tipe homotopi kompleks CW.
Saya rasa saya bisa membuktikan hasil ini dengan membangun kompleks CW $\tilde{X}$ dari $\tilde{A}$ (setara kompleks dengan $A$) dengan merekatkan sel menggunakan peta yang dilampirkan dari $(X, A)$, dan menggunakan hasil pelestarian kesetaraan dalam pushout (seperti ini persamaan Homotopy di kotak tekan dengan kofibrasi. ) pada setiap kerangka, tetapi saya tidak melihat bagaimana cara menggunakan Lemma di atas, dan hasil yang saya perlukan tentang pushout dan kesetaraan muncul nanti di buku saya pikir.
Semua wawasan diterima, selamat!
Jawaban
Membiarkan $A$ menjadi kompleks CW dan $X$ diperoleh dari $A$dengan melampirkan sel secara induktif. Menulis$i:A\hookrightarrow X$ untuk penyertaan.
Untuk memulai mari $p:\widetilde X\rightarrow X$menjadi pendekatan CW (alias model seluler, lihat Th.1.4). Sejak$A$ adalah kompleks CW, kesetaraan lemah $p$ menginduksi kebijaksanaan $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(lihat Co1.6). Jadi ada peta$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ bersama dengan homotopi $H:p\widetilde i\simeq i$. Sekarang perhatikan diagram \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X. \ end {array} Asumsi Lemma 1.5 terpenuhi, jadi ada peta$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ seperti yang $\varphi i=\widetilde i$ dan $p\varphi\simeq id_X$. Jadi$X$ adalah retraksi (homotopi) kompleks CW $\widetilde X$, dan segera menyusul dari ini itu $X$ memiliki tipe homotopi CW.
Sekarang fakta terakhir benar dalam generalitas yang dinyatakan, tetapi kami akan membuat pernyataan yang lebih tepat untuk situasi saat ini: kami akan menunjukkan bahwa $X$ adalah homotopi setara dengan $\widetilde X$ seperti yang diharapkan.
Untuk pemberitahuan ini $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ mengambil $\varphi p$ untuk $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. Tapi karena$p$ adalah kesetaraan lemah peta yang diinduksi bersifat bijektiva, jadi persamaannya $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ menyiratkan itu $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. Jadi kami memiliki klaim.