Pertanyaan tentang konvergensi / divergensi jumlah resiprokal bilangan bulat positif
Mempelajari tes konvergensi yang paling umum diketahui, saya menemukan bahwa dalam beberapa kasus tes tersebut tidak meyakinkan (misalnya, tes rasio ketika $r=1$, uji perbandingan ketika rangkaian konvergen bersyarat, dll), jadi saya telah memikirkan beberapa kemungkinan uji konvergensi untuk rangkaian yang melibatkan jumlah timbal balik dari bilangan bulat positif.
Alasan di balik pengujian ini adalah sebagai berikut: entah bagaimana, kepadatan himpunan bagian dari bilangan bulat positif dapat dievaluasi dan dibandingkan melalui jumlah parsial. Misalnya, itu intuitif bahwa satu set$n$ bilangan bulat positif seperti itu $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ lebih padat dari satu set $n$ bilangan bulat positif seperti itu $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
Melihat beberapa rangkaian kebalikan dari bilangan bulat positif yang paling terkenal, mudah untuk melihatnya dengan tepat $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ adalah jumlah parsial yang sesuai dengan himpunan bagian yang paling padat dari bilangan bulat positif, karena ini adalah jumlah dari bilangan bulat positif berurutan mulai dari $1$. Diketahui dan dengan mudah dibuktikan bahwa jumlahnya$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ menyimpang, dengan kecepatan kira-kira $\ln(n)$. Urutan divergen lain yang diketahui, jumlah kebalikan dari bilangan prima, menyimpang dengan kecepatan kira-kira$\ln\ln(n)$, dan jumlah parsial dari bilangan prima yang berurutan kira-kira $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$. Namun, jumlah parsial yang sudah dicatat$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ sesuai dengan himpunan angka segitiga, dan kami memilikinya $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$.
Uji konvergensi yang mungkin dinyatakan bergantung pada keberadaan beberapa fungsi $F(n)$, dibatasi sebagai $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, sehingga untuk setiap subset bilangan bulat positif yang tak terbatas $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ seperti yang $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, lalu kami dapat menegaskannya $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; dan jika$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, lalu kami dapat menegaskannya $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$.
Oleh karena itu, pengujian akan didasarkan pada jumlah penyebut barisan, dan akan memiliki bentuk berikut:
(Kemungkinan) Uji konvergensi
Diberikan beberapa subset bilangan bulat positif yang tak terbatas $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ seperti yang $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, lalu kami dapat menegaskannya $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; dan jika$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, lalu kami dapat menegaskannya $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
Pertanyaannya sekarang adalah: mungkinkah adanya fungsi tersebut $F(n)$? Apakah itu sesuai dengan fakta yang dibuktikan di sini:https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22?
Saya percaya itu mungkin adanya fungsi seperti itu, dan itu akan kompatibel jika tidak ada jumlah parsial bilangan bulat positif yang sama dengan $F(n)$. Misalnya jika secara hipotetis$F(n)=n^e$, tidak akan ada himpunan bilangan bulat positif seperti tingkat konvergensi / divergensi $0$.
Setiap komentar / tebakan tentang bagaimana 1) membuktikan keberadaan atau tidak adanya $F(n)$, dan 2) mendekati $F(n)$ akan disambut!
Jawaban
Sayangnya, fungsinya malah berkembang pesat $F(n)$ gagal meyakinkan $1/a_n\to 0$. Misalnya, letakkan$a_{2k}=k!$ dan $a_{2k+1}=1$ untuk setiap alam $k$. Bahkan saat kita membutuhkannya$\{a_n\}$ tidak menurun, pertumbuhan yang cepat dapat gagal untuk memastikan konvergensi rangkaian $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$. Misalnya, untuk setiap fungsi yang meningkat sangat cepat$g:\Bbb N\to\Bbb N$ biarkan urutannya $\{a_n\}$ terdiri dari blok nomor yang berurutan $g(k)$ dan panjang $g(k)$. Kemudian urutan$\{1/a_n\}$ menyimpang, tetapi berurutan $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ memiliki lompatan besar $g(k+1)$ setiap $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$.
Di sisi lain, ketidaksamaan antara aritmatika dan harmonik berarti menyiratkan hal itu $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ jadi jika sisi kanan dari ketidaksetaraan ini tidak dibatasi maka deretnya $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ menyimpang.