Pertanyaan tentang penghitungan ekspektasi [duplikat]

Question

Membiarkan $X$ dan $Y$ menjadi dua variabel acak.

Saya melihat sebuah buku menyatakan $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ tanpa bukti.

Saya pikir, untuk kasus yang paling sederhana, buktinya adalah sebagai berikut: - $E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.

Tapi apa yang terjadi jika probabilitas yang sesuai untuk Y adalah $q_i$ dan $p_i \ne q_i$ secara umum?

Answer 1

Catatan : demi kesederhanaan akan saya tulis$f(x,y)$ dari pada $f_{XY}(x,y)$. Bukti berikut dalam kasus kontinu, tetapi bukti serupa dalam kasus diskrit atau secara umum

$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$

EDIT: Kasus diskrit

$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$