Peta titik-temu memunculkan dualitas Poincaré

Question

Membiarkan $M$ menjadi compact yang ditriangulasi dengan mulus $d$manifold -dimensi. Pertimbangkan subkompleks$C_*^{\pitchfork T}(M)$rantai tunggal halus yang melintang ke triangulasi. Konstruksi homotopi rantai induktif menetapkan bahwa ini adalah kuasi-isomorfik untuk semua rantai halus, dan dengan demikian semua rantai tunggal.

Tentukan peta persimpangan $I : C_n^{\pitchfork T}(M; R) \to C^{d-n}_\Delta(M; R)$ (yang terakhir adalah cochains sederhana yang timbul dari triangulasi) dengan mengirimkan $\sigma : \Delta^d \to M$ ke cochain yang nilainya pada elemen triangulasi yang peta karakteristiknya $\iota : \Delta^{d-n} \to M$ adalah jumlah manifold nol yang diberikan oleh penarikan kembali $\sigma$ dan $\iota$. Di sini juga$R$ aku s $\mathbb{Z}/2$ atau $M$harus berorientasi dan menghitung dengan tanda-tanda biasa, dan seseorang menggunakan beberapa versi (seperti ini ) dari transversalitas untuk lipatan dengan sudut.

Latihan yang menyenangkan: dengan tanda yang sesuai, $I$adalah peta kompleks rantai. (Petunjuk: seperti dalam bukti bahwa derajat yang didefinisikan dengan menghitung preimages adalah invarian homotopi, ini bergantung pada klasifikasi lipatan satu.) Dualitas Poincaré menyiratkan bahwa domain dan jangkauan$I$ bersifat kuasi-isomorfik.

Pertanyaan: mengapa $I$ sebuah kuasi-isomorfisme?

Saya pikir saya bisa membuktikan ini, tetapi hanya dalam pengaturan mod-dua, dengan menggunakan karya mani Thom tentang perbatasan dan pendekatan dasar Quillen untuk cobordisme (hanya definisi makalah "dasar" - bukan hasil utama, yang bagi saya cukup jauh meskipun judul makalahnya). Tetapi harus ada argumen yang lebih langsung, yang mencakup kasus yang berorientasi juga, dan sepertinya ini harus ada dalam literatur di suatu tempat - dari tahun 1940-an mungkin?

(Motivasi: Greg Friedman, Anibal Medina dan saya memiliki apa yang kami anggap sebagai pendekatan baru untuk pertanyaan seperti Apakah rantai dan rantai tahu hal yang sama tentang manifold? Melalui aliran medan vektor, dan ingin membangun pengetahuan yang ada tentang interaksi tersebut antara persimpangan dan dualitas.)

Answer 1

Dalam utas komentar yang terkait dan sangat relevan, Mike Miller mengarahkan saya ke pracetak Lipyanskiy ini. Saya yakin ada argumen yang berhasil, seperti apa yang Joshua dan Dmitri dan saya diskusikan di komentar. Tetapi sebelum saya lupa, saya ingin menunjuk pada karya Lipyanskiy, terutama Bagian 12, dan menandai pertanyaan sebagai telah dijawab.