Quotients of abelian groups - sisa keterbatasan dan elemen keteraturan $p$

Question

Seharusnya $A$ adalah grup abelian dan $\pi$adalah satu set bilangan prima. SEBUAH$\pi$-number adalah produk bilangan prima dari $\pi$.

Asumsikan itu untuk masing-masing $p \in \pi$, $A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$ memiliki eksponen terbatas.

Asumsikan juga itu $A$ aku s $\pi$direduksi; tidak ada subgrup non-sepele dari$A$ yang mana $\pi$-terbagi. Artinya, untuk apa pun$H \leq A$ ada $h \in H$ dan $m$ Sebuah $\pi$-nomor seperti itu untuk apapun $x \in H$, $x^m \neq h$.

Membiarkan $j \in \mathbb{N}$, $p \in \pi$ dan $m = p^jn$ Sebuah $\pi$-bilangan dimana $n$ relatif prima $p$.

1. kenapa $A/A^m$ sisa terbatas?

2. Kenapa $A^{p^j}/A^m$ tidak memiliki unsur keteraturan $p$?

Berikut adalah konteks dari Infinite Soluble Groups:

Answer 1

$A/A^m$ adalah kelompok abelian eksponen hingga (khususnya, membagi eksponen $m$), dan setiap grup abelian eksponen hingga adalah jumlah langsung grup siklik dan khususnya residual hingga. Lihat misalnya jawaban pada kelompok abelian tak terhingga yang semua unsurnya berurutan 1, 2, atau 4 .

Karena setiap elemen $a\in A/A^m$ memuaskan $a^m=1$, setiap $p^j$kekuatan th $a^{p^j}$ memuaskan $(a^{p^j})^n=1$. Demikianlah urutan$a^{p^j}$ membagi $n$, dan tidak mungkin $p$. Itu adalah,$A^{p^j}/A^m$ tidak memiliki unsur keteraturan $p$.