Rasio luas dua poligon beraturan

Aug 18 2020

Poligon pada gambar di bawah ini adalah semua poligon beraturan (segi tujuh beraturan), berbagi sebuah simpul dan garis oranye melintasi tiga simpul dari dua poligon beraturan, luas dari poligon beraturan kecil dan poligon beraturan besar dilambangkan sebagai $S_1$, $S_2$, apa yang $\frac{S_1}{S_2}$?

Pertanyaan tambahan (poligon bersisi sembilan biasa)

Jawaban

2 cr001 Aug 18 2020 at 14:17

Tidak akan melalui perhitungan, tapi inilah idenya.

Pertama sejak $\triangle ADE$ dan $\triangle BDF$ serupa, kami tahu $AE$ melewati $G$.

Sekarang kita bisa menghitung $DG$,$GC$,$AG$ berdasarkan segi tujuh kiri dan sejak $AD\parallel CE$ kita bisa menghitung $GE=GC\cdot {AD\over DG}$. Kami juga tahu$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$.

Karena itu $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$.

Jika Anda membiarkan $a=DG,b=DA,c=DB$, ada beberapa identitas di sini

Menggunakan identitas, $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$

Edit baru: Sebenarnya baru saja terealisasi $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ begitu $GE$ sebenarnya adil $b$.

Sekarang perhitungannya sangat sederhana:

$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$

Jadi luasnya persis dua kali.

1 cr001 Aug 19 2020 at 06:22

Solusi untuk berpisah $2$ (masalah tambahan):

Membiarkan $I$ menjadi titik dimana $AD$ berpotongan dengan lingkaran sunat $O$ dari $\triangle ABC$. Menghubung$IO$. Sejak$AI$ adalah garis-garis $BI=CI$.

Trapesium mudah dilihat $BDEC$ simetris sehubungan dengan $IO$. Selanjutnya$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ begitu $\angle IBD=50^{\circ}$.

Sekarang biarkan $\angle IDB=x$. Dengan penelusuran sudut menggunakan informasi di atas kami temukan$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$.

Jika $ID>DB=DE$, maka kita punya $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ dan $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ begitu $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ yang tidak mungkin.

Jika $ID<DB=DE$, maka kita punya $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ dan $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ begitu $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ yang tidak mungkin.

Karena itu $ID=DB=DE$ dan $\triangle IDE$ adalah sama sisi, karenanya $\angle IDE=60^{\circ}$ dan $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$. Karena itu$BD \perp AC$.

($N$ hanya $C$ diberi label ulang)

Sisanya sederhana sekali $BD\perp AC$. Kami dapat menemukan$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$.

Sejak $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ dan rasio areanya tepat $3$.