Rasio polinomial dan turunan di bawah fungsional tertentu

Question

Membiarkan $p(x)$ menjadi polinomial derajat $n>2$, dengan akar $x_1,x_2,\dots,x_n$(termasuk multiplisitas). Membiarkan$m$menjadi bilangan bulat genap positif. Tentukan pemetaan berikut$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

PERTANYAAN. Untuk$\deg p(x)=n>2$ dan $p'(x)$ turunannya, dapatkah Anda mengungkapkan $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ sebagai fungsi dari $m$ dan $n$ sendirian?

Ucapan. Dipicu oleh pertanyaan Fedor, sebagai contoh, saya baru saja menghitung (tidak membuktikan) itu$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Answer 1

Berikut kode SageMath yang menyediakan fungsi V(m)komputasi$V_m(p)$ dalam hal fungsi simetris dasar dari $x_1,\dots,x_n$ (yaitu koefisien dari $p$).

Misalnya, jika $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, kemudian $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ dan seterusnya.

Dari ungkapan ini menjadi bukti $m=2$langsung mengikuti. Namun untuk yang lebih besar$m$ rasio $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ tampaknya bukan merupakan fungsi dari $n$, yang telah saya uji secara komputasi $m$ hingga $20$.

Answer 2

Jika ini benar, $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ juga hanya akan bergantung pada $m$ dan $n=\deg p$, dan seterusnya, sampai kita mendapatkannya $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. Kita punya$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Jadi jika ini benar, kami akan melakukannya $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. Ini sudah salah untuk$n=m=4$: jika semua akar $p$ adalah 0 dan 1, kami punya $V_4=V_2$, tapi $V_2^2/V_4=V_2$ tidak diperbaiki.