Realisasi kelompok metasiklik orde 21

Question

Saya ingin memahami kelompok ordo nonabelian $pq$ (dengan $q | p-1$) lebih baik. Untuk$q=2$ ini adalah grup dihedral yang membuat saya nyaman.

Untuk setiap $pq$Saya tahu persis ada salah satu dari kelompok ini. Ini adalah produk semidirect. Struktur Sylow-nya adalah$n_q = p$ dan $n_p = 1$. Saya tidak tahu banyak tentang mereka.

Saya menghitung pesanan grup menarik berikut 21, 39, 55, 57, 93. Dan saya akan bertanya tentang 21.

Apa kelompok nonabelian urutan 21 yang simetri?

Saya telah meneliti ini dan tidak menemukan jawaban yang bagus. Saya tidak berpikir ini adalah simetri rotasi polihedra atau teka-teki yang memutar. Saya telah melihat bahwa bidang fano memiliki 7 garis dan 3 titik pada setiap baris, tetapi saya tidak tahu apakah dapat digunakan. Apakah kelompok-kelompok ini bertindak secara alami berdasarkan kode desain dari beberapa jenis? Atau adakah cara yang lebih baik untuk memahaminya di tingkat yang lebih dalam? Terima kasih!

Answer 1

Di setiap bidang $F$ ada sekelompok transformasi afin

$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$

bertindak di baris affine $\mathbb{A}^1(F)$ (yang sebagai satu set adil $F$). Setara ini adalah sekelompok$2 \times 2$ matriks

$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$

Di atas bidang yang terbatas $F = \mathbb{F}_q$ kami mendapatkan keluarga nonabelian (kecuali bila $q = 2$) kelompok pesanan $q(q - 1)$ yang merupakan produk semidirect yang dibangun dari tindakan $\mathbb{F}_q^{\times}$ di $\mathbb{F}_q$dengan perkalian. Selanjutnya kita dapat mempertimbangkan subgrup dari grup ini dengan membatasi$a$ ke subkelompok $F^{\times}$. Semua grup yang Anda minati dapat dibangun dengan cara ini.

Grup tertentu yang Anda minati muncul saat $q = 7$ dan $a$ dibatasi untuk berbaring di subkelompok $(\mathbb{F}_7^{\times})^2$ dari elemen persegi $\mathbb{F}_7^{\times}$. Itu adalah grup Frobenius dan menurut halaman itu juga beraksi di pesawat Fano.