Rekonstruksi Grup Dari Kategori $G-\mathbf{Sets}$; Konstruksi Homomorfisme Grup [duplikat]

Dec 30 2020

Saya mencoba memberikan bukti dari pernyataan berikut, tetapi saya merasa agak sulit. Saya berharap bisa mendapatkan bantuan dari seseorang di situs ini. Saya pikir ini adalah apa yang mereka berikan buktinya, di Ncatlab - Dualitas Tannakian (di bagian$G-\mathbf{Sets}$). Tapi saya tidak bisa mengikuti bukti itu:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

Pernyataan. Membiarkan$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ menjadi functor pelupa, di mana $G-\mathbf{Sets}$ adalah kategori set yang dilengkapi dengan aksi kelompok oleh kelompok $G$. Saya mencoba memahami bukti dari fakta berikut$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

Apa yang telah aku lakukan

Saya telah berhasil membuat peta $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Ini dilakukan dengan aturan berikut $\varphi(g)=\eta^g$, dimana $\eta_S^g:S\to S$ didefinisikan oleh $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. Sangat mudah untuk memastikan bahwa ini memberikan transformasi alami$F$ untuk $F$ dan itu juga merupakan homomorfisme kelompok.

Namun , cara lain yang lebih bermasalah bagi saya. Saya ingin mencari peta$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ Artinya, diberi transformasi alami $\eta$, Saya ingin menetapkannya ke elemen grup $g\in G$.

Transformasi alami $\eta$ didefinisikan oleh diagram komutatif berikut $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ dimana $\eta_X$ adalah morfisme dalam $\mathbf{Sets}$ dan $f:X \to Y$ adalah morfisme dalam kategori $G-\mathbf{Sets}$. Sejak$F$ hanyalah functor pelupa, diagram di atas disederhanakan menjadi $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Kekhawatiran dan Pertanyaan

Dalam definisi transformasi alam - saya punya itu - berikan apa saja $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$adalah morfisme. Alami$G-\text{Set}$ hanya untuk mengambil $X=G$ dan membiarkannya bertindak sendiri melalui struktur grup: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ Jadi diagram komutatif sekarang menjadi $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Keterangan 1. Saya ingat seorang profesor mengatakan kepada saya bahwa morfisme$\eta_G$ sepenuhnya dipahami oleh apa yang dilakukannya pada elemen identitas $e\in G$ (dari mana saya harus dapat memahami bagaimana membangun homomorfisme kelompok), $$e\mapsto \eta_G(e).$$

Saya tidak begitu mengerti apa artinya di atas. Saya rasa saya telah salah memahami sesuatu tentang functor pelupa. Ketika saya berpikir tentang functor pelupa$F:A\to B$, Saya pikir functor melupakan semua yang ada di dalamnya $A$, tapi tidak ada di $B$. Dalam kasus kami, ini melupakan struktur tindakan kelompok. Jadi, secara khusus, saya tidak dapat menggunakan properti menjadi a$G$peta -equivariant. Hanya properti yang menjadi peta teori-himpunan.

Pertanyaan 1.

Jika $\eta_G(e)=s$, dan jika saya ingin memahami apa yang dikatakan profesor kepada saya, saya pikir saya akan bernalar sebagai berikut $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$di mana saya di persamaan kedua menggunakan properti menjadi homomorfisme kelompok. Tetapi di sisi lain, jika saya ingin memperlakukannya sebagai homomorfisme kelompok, maka saya pikir saya harus melakukannya sejak awal. Itu adalah,$\eta_G$harus memetakan identitas menjadi identitas (agar konsisten dalam alasan saya). Jadi saya pikir argumen saya gagal.

Pertanyaan saya adalah: Apa maksudnya?

Saya rasa apa yang saya lakukan di atas tidak masuk akal. Tapi saya rasa saya telah melihat orang lain menggunakan properti morfisme dalam kategori tersebut$A$, setelah menerapkan functor pelupa, itulah alasan saya. Sekali lagi, saya tidak begitu yakin apa yang saya lakukan. Jadi saya mungkin saja salah.

Pertanyaan 2. Bagaimana ini memberi tahu saya di mana harus memetakan transformasi alami?

Diberikan a $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, di mana saya memetakannya? Caranya saya petakan sebagai berikut$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ Dengan melakukan itu, apakah saya tahu bahwa saya telah memberi tahu secara mendalam di mana harus memetakan setiap transformasi alam?

Pertanyaan 3. Saya rasa saya juga, entah bagaimana, harus menggunakan diagram komutatif dalam definisi transformasi natural ketika saya membangun homomorfisme grup, yang belum saya lakukan? Saya kira saran saya di atas bukanlah cara yang benar untuk melakukannya. Apakah Anda punya ide bagaimana saya bisa membuat peta?

Saya akan sangat senang bisa mendapatkan bantuan dari seseorang di situs ini untuk memahami ini lebih baik. Karena saya benar-benar tersesat, dan bingung.

Semoga sukses,

Joel

Jawaban

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

Saya akan menggunakan kiri $G$-set, tidak benar.

Pertanyaan 1 & 3 .

Anda tidak bisa menulis $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$, kami tidak berasumsi $\eta_G:G\to G$ adalah homomorfisme kelompok, hanya saja itu adalah morfisme $G$-set. Anda bisa mengatakan itu$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ meskipun (yang Anda akan membalik urutan jika Anda bersikeras pada tindakan kelompok yang benar).

Pertimbangkan diagram komutatif Anda lagi:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

Di sini, kita bisa membiarkan peta $G\to Y$ jadilah evaluasi-at-$y$ peta $g\mapsto gy$ dimana $y\in Y$ tetap (perhatikan peta evaluasi juga berguna dalam menetapkan teorema penstabil orbit - seratnya adalah koset $y$stabilizer). Kemudian kami mengejar diagram mulai dari$e\in G$ di kiri atas.

Jika kita mengikuti jalan kanan atas, kita dapatkan $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. Di jalur kiri bawah,$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Oleh karena itu boleh kita samakan$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. Artinya, setiap automorfisme$\eta$ diterapkan ke a $G$-set $Y$ hanya menerapkan elemen grup tertentu $\eta_G(e)\in G$.