Saya tidak dapat memahami solusi saya sendiri untuk $\log_5(3x-1)<1$ dan $\log(6/x)>\log(x+5)$
Di sini saya memiliki dua contoh pertidaksamaan logaritmik. Meskipun bisa menyelesaikannya, saya tidak bisa sepenuhnya memahami proses saya sendiri.
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
Tapi solusinya tidak $x\in(-\infty, 2)$
Sekarang pertimbangkan nilai untuk $x$ dimana $\log_5(3x-1)$ didefinisikan: $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
Solusinya adalah persimpangan. $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
Sekali lagi, saya memecahkan
$\frac{6}{x}> x+5$ dan $x+5>0$, sebagai $x>-5$ menjadi kisaran nilai yang ditentukan untuk logaritma. $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
Kemudian, saya hanya mengerjakan tabel dan mendapatkan $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
Solusi untuk masalah ini adalah $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
Tujuan dari pertanyaan ini adalah:
- Pahami cara mengatasi ketidaksetaraan dengan lebih baik, pahami dengan lebih intuitif;
- Pahami cara kerja ketidaksetaraan, pahami juga secara lebih intuitif;
- Mengapa jawabannya adalah persimpangan "solusi" dengan nilai-nilai yang ditentukan;
Maaf jika pertanyaannya terlalu mendasar, tetapi petunjuk apa pun akan diterima.
Jawaban
Anda tampaknya memiliki beberapa ide.
Ini adalah definisi dasar kami $\log_b x = y \implies x = b^y$
Jika $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
Ada beberapa karakteristik dasar dari fungsi tersebut.
Fungsinya "meningkat secara monoton." Itu adalah$\log x > \log y \iff x > y$
Fungsinya "suntik": $\log x = \log y \iff x = y$
Dan, domain $\log x = (0,\infty).$ Jika $x<0$ fungsi tidak ditentukan.
Anda tidak perlu mengetahui kosakata ini. Anda perlu memahami implikasi yang berkaitan dengan fungsi logaritma.
Untuk masalah yang ada.
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$dari dua aturan pertama. Dan$3x-1 > 0$ dari aturan terakhir
Saya pikir itu adalah ide yang baik untuk membuat daftar semua kendala ini di depan.
Kami mungkin menulisnya seperti: $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
Untuk masalah kedua:
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
Untung, $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ jadi kita bisa menghilangkan batasan terakhir.
Kontras $x>0$ apakah kita melayani, dalam hal itu, kita bisa berkembang biak $x$tanpa khawatir membalik tanda pada ketidaksetaraan. Jika ada kemungkinan x negatif, kami tidak bisa melakukannya.
$0 > x^2 + 5x - 6$ dan $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ dan $x>0$
Ketimpangan pertama punya solusi $(-6,1)$ dan yang kedua $(0,\infty)$
$(0,1)$ akan menjadi interval di mana keduanya bertahan.
Anda sepertinya bisa menyelesaikan ketidaksetaraan ini dengan baik. Mungkin akan lebih baik, seperti yang disarankan dalam komentar, untuk menyatakan batasan terlebih dahulu dan kemudian melanjutkan dari sana.
Pada pertanyaan pertama, misalnya, Anda mendapatkan solusi terlebih dahulu ($x<2$) lalu terapkan pembatasan dari sana. Saya pikir inilah yang mungkin membuat Anda bingung dengan proses Anda.
Saat Anda diberi logaritma $\log_5(3x-1)$, Anda harus menemukan nilai $x$ memuaskan $3x-1>0$, untuk memastikan bahwa Anda tidak sengaja memunculkan angka negatif dalam logaritma. Setelah Anda mendapatkan$x>\frac{1}{3}$, lalu Anda bisa mulai mencari solusi untuk ketidaksetaraan tersebut. Setelah Anda mendapatkan$x<2$, akan mudah bagi Anda untuk menerapkan batasan tanpa harus memikirkannya.
Hal yang sama berlaku untuk yang kedua, tetapi Anda juga tidak mempertimbangkan logaritma di sebelah kiri saat menentukan batasan (yaitu Anda mendapat$x>-5$ tapi kamu tidak mengerti $x>0$, yang membuat Anda semakin dekat dengan jawabannya). Saya pikir ini akan menghemat waktu Anda.
Semoga ini membantu Anda.