Sebuah pertanyaan tentang definisi produk keluarga dalam kategori

Aug 19 2020

Saya mempelajari kategori dari Aljabar oleh Thomas Hunger Ford dan saya memiliki pertanyaan tentang definisi kategori:

Pertanyaan saya adalah: Apa yang dimaksud penulis dengan diagram itu adalah komutatif.

Saya tidak tahu apa artinya meskipun definisinya $7.2$ diberikan di atas benar-benar dipahami.

Mohon beri tahu apa yang dimaksud penulis dengan itu.

Jawaban

4 EeveeTrainer Aug 19 2020 at 12:23

Pada dasarnya, yang dimaksud adalah setiap segitiga dalam diagram mewakili sekumpulan komposisi dan persamaan morfisme. Misalnya,

Diagram khusus ini menyiratkan hal itu $\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Juga:

Diagram ini menyiratkan $\pi_2 \circ \varphi = \varphi_1$.

Masing-masing segitiga ini dianggap sebagai diagram komutatif, dan kami juga mengatakan bahwa diagram yang dibuat dengan "menghancurkan" mereka bersama-sama (seperti yang Anda tunjukkan sebelumnya) juga komutatif.

Secara lebih umum: dalam diagram komutatif, jalur apa pun yang Anda ambil dari titik awal dan akhir yang sama mewakili semacam persamaan (dalam teori kategori, persamaan berkaitan dengan komposisi morfisme). Dari segitiga pertama mengambil dua jalur$B$ untuk $A_1$ misalnya: satu langsung ke sana melalui $\varphi_1$ dan yang lainnya pergi ke $P$ melalui $\varphi$dan kemudian ke$A_1$ melalui $\pi_1$. Jadi, kami klaim$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Hal serupa terjadi pada diagram lainnya, dan diagram komutatif pada umumnya.

Itu membuat intuisi visual yang bagus tentang bagaimana hal-hal ini bekerja, dan bagaimana persamaan dapat dilihat, digunakan, dan dimanipulasi.

Anda dapat menemukan lebih banyak contoh, diagram, dan penjelasan di artikel Wikipedia di sini .

1 NoahSchweber Aug 19 2020 at 12:24

Diagram bersifat komutatif jika kita melihat semua panah yang dihasilkannya - yaitu, semua panah yang dapat dibentuk dengan menyusun panah dalam diagram itu sendiri - kita hanya pernah melihat satu panah di antara dua objek.

Misalnya, kita sedang melihat kategori Set . Pertimbangkan objeknya$A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{1,2\}$, dan diagram "segitiga" yang terdiri dari panah $$f:A\rightarrow B: 1\mapsto 2,\quad g: B\rightarrow C: 2\mapsto 2,\quad\mbox{and}\quad h:A\rightarrow C: 1\mapsto 1.$$Diagram ini tidak komutatif: selain panah yang ditampilkan secara eksplisit$f,g,h$ sendiri, kami juga memiliki panah "dihasilkan" $g\circ f$. Ini memiliki domain dan codomain yang sama dengan$h$, tetapi berbeda dari $h$.

Lebih cepat:

Segitiga komutatif adalah contoh komposisi panah: panah yang diberikan$f,g,h$ dimana $g\circ f$ didefinisikan dan memiliki sumber dan target yang sama dengan $h$, segitiga yang dibentuk oleh $f,g,h$ bersifat komutatif jikaf $g\circ f=h$.

Tentu saja ada diagram komutatif yang lebih rumit di luar sana. Komuter kotak muncul sering (lihat misalnya "pullback kotak"): pada dasarnya, bersesuaian ini untuk situasi di mana kita memiliki panah$f_1,f_2,f_3,f_4$ seperti yang $f_1$ dan $f_2$ memiliki sumber yang sama, dan $f_3$ dan $f_4$ memiliki target yang sama, dan komposisi $$f_3\circ f_1\quad\mbox{and}\quad f_4\circ f_2$$ adalah (didefinisikan dan) sama.