Sebuah versi Teorema Hurwitz

Question

Pertanyaan : Biarkan$\{f_n\}$ menjadi urutan fungsi analitik di $\mathbb{C}$ yang menyatu secara seragam pada subset kompak dari $\mathbb{C}$ ke polinomial $p$ derajat $m$. Buktikan untuk$n$ Cukup besar, $f_n$ memiliki setidaknya $m$ nol (menghitung kelipatan).

Percobaan : Saya tahu ini adalah versi dari teorema Hurwitz, tapi saya tidak ingin mengatakan "oleh Hurwitz". Jika$f_n$ identik $0$, maka masalahnya sepele, jadi anggaplah ini bukan masalahnya. Untuk poin mana pun$z_0\in\mathbb{C}$, ada $r>0$, seperti yang $0<|z-z_0|\leq r$. Membiarkan$|z-z_0|=r$ menjadi lingkarannya $C$. Kemudian, dengan konvergensi seragam$C$ (sejak $C$ kompak karena itu adalah lingkaran) yang kita miliki $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, dan $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$. Begitu,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ Oleh karena itu, karena integral di kiri memberikan jumlah nol $f_n(z)=0$ dalam $C$, kami melihat itu $f_n$ dan $p$ memiliki jumlah nol yang sama di dalamnya $C$. Membiarkan$r\rightarrow\infty$ memberikan hasil $\mathbb{C}$.

Apakah Anda melihat ada yang salah dengan buktinya? Secara khusus, apakah ada sesuatu yang terjadi dengan "untuk$n$ cukup besar "atau" menghitung kelipatan "bagian dari masalah yang harus saya perhatikan? Bantuan apa pun sangat kami hargai! Terima kasih.

Answer 1

Ada beberapa masalah dengan argumen Anda:

Untuk poin mana pun $z_0\in\mathbb{C}$, ada $r>0$, seperti yang $0<|z-z_0|\leq r$.

apa yang $z$ sini?

Kemudian, dengan konvergensi seragam $C$ (sejak $C$ kompak karena itu adalah lingkaran) yang kita miliki $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, ...

Anda membutuhkan itu $p(z) \ne 0$ di $C$ untuk kesimpulan ini.

... dan $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$.

Itu mungkin saja, tetapi yang Anda butuhkan adalah itu $f_n'(z) \to p'(z)$ di $C$.

Saya akan mulai sebagai berikut: Pertama, kita dapat mengasumsikan bahwa derajat $m$ dari $p$ setidaknya satu (jika tidak, tidak ada yang ditampilkan), sehingga $p$adalah polinomial tidak konstan. Lalu pilih$r > 0$ begitu besar sehingga semua akarnya $p$ ada di dalam $\{ |z| < r \}$. Sekarang perhatikan lingkarannya$C$ berpusat di asal dengan jari-jari $r$. Catat itu$p$ bukan nol $C$.

Akhirnya tunjukkan itu $f_n'/f \to p'/p$ seragam $C$, dan menerapkan prinsip argumen.