semua $A_i$ adalah set yang terhubung sedemikian rupa $\bigcap\limits_{i\in E} A_i \neq \emptyset$ kemudian $\bigcup\limits_{i \in E} A_i$ terhubung [duplikat]
Ini buktinya
Seandainya tidak. Kemudian,$\cup A_i$ memiliki partisi terbuka $\{U,V\}$
$U \subseteq \cup A_i$ jadi kami hanya perlu menunjukkan dua kasus:
$U \subseteq \cup A_j$ dengan $U \neq \cup A_j$ untuk beberapa $J \subseteq E$. Lalu ada beberapa$A_k$ seperti yang $U \neq A_k$ dengan $U \cap A_k \neq \emptyset$. Jadi$\{ U \cap A_k,V \cap A_k \}$ adalah partisi terbuka dari $A_k$. Dengan asumsi,$A_k$terhubung. Ini kontradiksi dengan [$\cup A_i$ terputus]
$U= \cup A_t$ untuk beberapa $T \subseteq E$. Sejak$V \neq \emptyset$, ada beberapa $A_k$ seperti yang $(A_k-U) \neq \emptyset$. Membiarkan$J=T \cup \{k\}$. Kemudian dengan Kasus 1, Ini kontradiksi dengan [$\cup A_i$ terputus]
Apa ini oke ??
Saya tidak yakin tentang ini...
Jawaban
Ada beberapa hal yang saya tidak mengerti dalam pembuktian Anda. Secara khusus:
$U \neq \bigcup_j A_j$ : di set apa serikat dilakukan?
Hal yang sama untuk kasus 2. dengan $T$.
Saya hanya akan mengatakan sebagai $$\bigcap_{j \in J} A_j$$ seharusnya tidak kosong, mari kita ambil $x \in \bigcap_{j \in J} A_j$.
Seperti hipotesis $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U \cap V,$$ kita bisa menganggap tanpa kehilangan umum daripada $x \in U$ (kita bisa menukar peran $U,V$ dalam kasus lain).
Sekarang untuk apapun $j \in J$, $A_j$ seharusnya terhubung dan $x \in A_j$. Karena itu$A_ j \subseteq U$ dan akhirnya $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U$$ membuktikan bahwa serikat terhubung.