Setiap fungsi holomorfik pada lipatan kompleks kompak konstan secara lokal?
Kami tahu itu jika $X$ adalah berjenis kompleks terhubung kompak, kemudian setiap fungsi holomorfik aktif $X$konstan. Sekarang, seharusnya itu$X$belum tentu terhubung, maka kita dapat memilih komponen yang terhubung. Kita tahu bahwa komponen yang terhubung adalah subset tertutup dan setiap subset tertutup dari satu set kompak juga kompak. Sehingga komponen yang terhubung juga kompak, maka dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi holomorfik pada komponen yang terhubung adalah konstan. Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa setiap fungsi holomorfik aktif$X$ konstan secara lokal.
Saya pikir ini mungkin tidak benar tetapi saya tidak dapat menemukan di mana masalah dalam pembuktian saya di atas.
Jawaban
Ini benar. Namun, ketika orang mengatakan "berjenis kompak", itu hampir selalu berarti manifold kompak yang terhubung. Sebaliknya, biasanya tidak ada yang diperoleh dengan menangani lipatan kompak yang tidak tersambung, karena sebaiknya kita melihat saja setiap komponen yang terhubung.
(Untuk lipatan non-kompak, ini berpotensi lebih rumit, karena kami memiliki hal-hal seperti $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ yang merupakan gabungan dua lipatan, tetapi keduanya "menyentuh", dan dalam beberapa hal secara inheren berbeda dari $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, sebagai contoh.)