Setiap subruang linier memiliki ukuran nol
Definisi
Membiarkan$A$menjadi bagian dari$\Bbb R^n$. Kami bilang$A$memiliki ukuran nol dalam$\Bbb R^n$jika untuk setiap$\epsilon>0$, ada penutupnya$Q_1,\,Q_2,...$dari$A$dengan menghitung banyak persegi panjang sehingga$$ \sum_{i=1}^\infty v(Q_i)<\epsilon $$Jika pertidaksamaan ini berlaku, kita sering mengatakan bahwa volume total persegi panjang$Q_1,Q_2,...$kurang dari$\epsilon$.
Dalil
Membiarkan$A$terbuka di$\Bbb R^n$; membiarkan$f:A\rightarrow\Bbb R^n$menjadi fungsi kelas$C^1$. Jika himpunan bagian$E$dari$A$memiliki ukuran nol dalam$\Bbb R^n$, maka himpunan$f[E]$juga telah mengukur nol dalam$\Bbb R^n$.
Bukti . Lihat lemma$18.1$dari teks "Analysis on Manifolds" oleh James Munkres.
Kata pengantar singkat
himpunan bagian$\Bbb R^m\times\{t_{m+1}\}\times...\times\{t_{m+(n-m)}\}$dari$\Bbb R^n$memiliki ukuran nol dalam$\Bbb R^n$.
Bukti . Lihat di sini .
Dalil
Setiap subruang linier$W$dari$\Bbb R^n$yang memiliki dimensi$m<n$memiliki ukuran nol.
Untungnya saya mengatur bukti berikut tetapi saya ragu ada beberapa ketidaksempurnaan.
Bukti . Pertama-tama jika$W$adalah subruang dari$\Bbb R^n$dari dimensi$m<n$kemudian$$ W\equiv\big<w_1,...,w_m\big> $$untuk beberapa$w_1,...,w_m\in\Bbb R^m$yang bebas linier sehingga kita harus menunjukkan bahwa himpunan kombinasi linier dari vektor-vektor ini memiliki ukuran nol. Sekarang jika$\mathcal E:=\big\{e_1,...,e_n\big\}$adalah basis kanonik maka kita mendefinisikan transformasi linier$t:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R^n$melalui kondisi$$ t(e_i):=\begin{cases}w_i,\,\,\,\text{if}\,\,\,i\le m\\0,\,\,\,\text{otherwise}\end{cases} $$untuk apa saja$i=1,...,n$sehingga$t\big[\Bbb R^n\big]=W$. Jadi kita perpanjang himpunannya$\big\{w_1,...,w_m\big\}$ke dasar$\mathcal W:=\big\{w_1,...,w_m,w_{m+1},...,w_n\big\}$dan kemudian kami mempertimbangkan diffeomorphism (linier)$f$dari kelas$C^1$didefinisikan melalui kondisi$$ f(e_i):=w_i $$untuk semua$i=1,...,n$. Jadi jika$f[W]$memiliki ukuran nol maka$W$memiliki ukuran nol juga. Jadi sejak$f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$teorema berlaku.
Jadi apakah bukti saya benar? Maka sayangnya saya tidak dapat membuktikannya$f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$. Jadi bisakah seseorang membantu saya, tolong?
Jawaban
Menggunakan notasi dalam teorema Anda, mari$A = \mathbb{R}^n\subset \mathbb{R}^n$sehingga$A$terbuka dan kami mencari diffeomorphism di$A$sehingga$\mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$dipetakan ke$W$di mana kita berasumsi tanpa kehilangan keumuman bahwa$\dim(W) = m$. Sejak$W$adalah subruang dari$\mathbb{R}^n$maka kita dapat menemukan dasar untuk$W$dan beri label pada vektor-vektor ini$\{w_1, \ldots w_m\}$. Kami juga dapat menemukan tambahan$n-m$vektor sedemikian rupa sehingga$\{w_1, \ldots w_m, w_{m+1}, \ldots w_{n}\}$merupakan dasar untuk$\mathbb{R}^n$. Membiarkan$\{e_1,\ldots e_n\}$menjadi dasar standar untuk$\mathbb{R}^n$. Pertimbangkan transformasi linier yang didefinisikan oleh$$ f(e_i) = w_i$$Kemudian$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$adalah bijeksi linier dan dengan demikian adalah$C^1$. Perhatikan itu$E = span\{e_1\ldots e_m\} = \mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$dan itu$$f(E) = span\{f(e_1),\ldots f(e_m)\} = span\{w_1,\ldots w_m\} = W $$
Bukan jawaban yang tepat, tetapi tidak cocok dengan komentar.
Ini adalah konsekuensi dari hasil umum yaitu jika$p:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$adalah polinomial maka$p=0$atau bukan nol hampir di mana-mana. Ada bukti ringkas di sini .
Jika$W$adalah subruang yang tepat dari$\mathbb{R}^n$, maka yang terkandung adalah beberapa hyperplane$H$dan kita bisa menulis$H= \{ x | \phi(x) = \alpha \}$di mana$\phi$adalah fungsi linier bukan nol. Karena polinomial$p(x)=\phi(x)-\alpha$adalah polinomial bukan nol dalam$x_1,..,x_n$kita melihat itu$H$memiliki ukuran nol.