Sistem perkalian cincin dan kategori
Jika A adalah kategori apa pun, kelas morfisme$S$di A dikatakan sistem perkalian apakah$(a)$ itu ditutup dengan komposisi, yaitu: $id_X$ masuk $S$ untuk setiap $X$di A dan kapanpun$f$ dan $g$adalah morfisme dalam A sehingga komposisinya$gf$ masuk akal, kalau begitu $gf$ masuk $S$; $(b)$ diagram apa pun dalam bentuk $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ dengan $s$ di $S$ dapat diselesaikan sebagai $\require{AMScd}$ \ mulai {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} dengan$t$ di $S$. Begitu pula dengan semua anak panah yang dibalik. Akhirnya$(c)$ untuk sepasang morfisme $f,g:X\to Y$ disana ada $s$ di $S$ dengan $sf=sg$ jika dan hanya jika ada $t$ di $S$ dengan $ft=gt$.
Pertanyaan saya adalah: apakah definisi ini bertepatan dengan gagasan himpunan multiplikatif tertutup untuk cincin apa pun$R$ jika kita lihat $R$sebagai Ab -kategori dengan hanya satu objek? Kondisi pasti$(a)$ memberikan apa yang kita inginkan untuk himpunan tertutup multiplikasi (yaitu himpunan bagian $S\subseteq R$ seperti yang $1\in S$ dan $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), dan jika $R$ bersifat komutatif, $(b)$ dan $(c)$ menjadi jelas, tetapi dalam kasus cincin non-komutatif saya tidak dapat menemukan bukti dari kondisi ini.
Adakah yang bisa memberikan bukti atau contoh yang berlawanan? Jika counterexample adalah jawabannya, adakah alasan yang kuat mengapa itu terjadi hanya untuk kasus komutatif, atau gagasan sistem perkalian yang dirancang hanya untuk menggeneralisasi kasus ini?
Jawaban
Ya, itu kebetulan, tapi agak sepele (dalam kasus komutatif).
Lihat cincin (unital komutatif) Anda $R$sebagai kategori sebagai berikut. Itu$R$tindakan -module dari $R$ pada dirinya sendiri menyebabkan morfisme $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, sehingga kita dapat mempertimbangkan kategori dengan satu objek (yaitu $R$) dan himpunan morfisme adalah $\iota(R)$. Fakta bahwa ini membentuk file$\mathbf{Ab}$-kategori adalah bagian dari aksioma cincin. Anda perlu cincin menjadi unital agar morfisme identitas hadir, dan komutatif memberi Anda aksioma lainnya. Misalnya, jika Anda diberikan$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} Anda pada dasarnya diberikan dua elemen cincin asli$R$. Diagram dapat dengan mudah diselesaikan dengan asumsi itu$R$ bersifat komutatif sejak $sf = fs$ mengarah ke diagram komutatif $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} Pernyataan (c) juga dibuktikan dengan mengambil$t=s$. Saya tidak tahu tentang melokalkan cincin non-komutatif di subset$S$ secara umum, tapi saya berani bertaruh bahwa jika ide-ide ini masuk akal, maka lokalisasinya $S^{-1}R$ akan ada kapan $R$bersifat non-komutatif dalam kasus tertentu di mana aksioma kategoris tersebut dipenuhi, tetapi tidak secara umum. Saya membaca ini untuk mengetahui sedikit tentang pelokalan non-komutatif, dan rasanya tidak seinspirasi rekan komutatif.
Semoga membantu,