Subruang berdimensi hingga jika ruang vektor bernorma ditutup menggunakan ekivalensi norma

Aug 20 2020

Saya telah menunjukkan norma apa pun pada ruang vektor berdimensi hingga adalah ekuivalen maka pertanyaannya menanyakan mengapa hal ini menyiratkan setiap subruang berdimensi hingga dari ruang vektor bernorma tertutup. (Tertutup dalam arti tertutup secara toplogis, komplemennya adalah subset terbuka.)

Saya memahami bahwa norma yang setara menghasilkan gagasan yang sama tentang konvergensi, namun saya hanya memiliki sedikit gagasan tentang di mana untuk memulai. Saya telah melihat beberapa posting yang menunjukkan subruang sudah selesai sebagai gantinya, tetapi saya rasa itu bukan semangat dari masalah ini.

bagaimana saya harus melanjutkan? Terima kasih banyak sebelumnya!

Jawaban

АлександрПальма Aug 20 2020 at 16:45

Saya tahu itu jika $X$ adalah ruang bernorma di beberapa bidang $\mathbb{F}$ dan berdimensi hingga dengan dimensi $n$, jadi kamu bisa membuktikan $X$ isomorfik untuk $\mathbb{F}^{n}$ dengan norma euclidean. $[1]$

Kehormatan dari hasil di atas adalah jika $X$ menjadi ruang vektor berdimensi hingga dengan norma $||\cdot||_{1}$ dan $||\cdot||_{2}$. Kemudian$||\cdot||_{1}$ dan $||\cdot||_{2}$ setara.

Sekarang, jika Anda bisa membuktikan hasil itu $[1]$ maka Anda mendapatkan bahwa setiap subruang berdimensi berhingga dari ruang linier bernorma tertutup.