Subruang pelengkap, pertanyaan Benar / Salah

Question

Benar atau salah?

$W_1$, $W_2$ dan $W_3$ adalah subruang dari ruang vektor $V$. Jika$W_1 ⊕ W_2 = V$ dan $W_1 ⊕ W_3 = V$ , kemudian $W_2 = W_3$.

Saya sebenarnya memiliki pertanyaan yang lebih kecil ini yang ditanyakan pada ujian dan saya mengatakan itu benar tetapi kemudian saya diberitahu bahwa itu salah. Adakah yang bisa menjelaskan kepada saya mengapa sehingga saya dapat secara intuitif melihatnya di kepala saya bahwa itu memang salah. Hanya dengan begitu saya bisa menemukan contoh yang berlawanan.

Terima kasih sebelumnya.

Answer 1

$W_2$ dan $W_3$ bersifat isomorfik, tetapi mungkin bukan subruang yang sama.

Salah satu cara untuk melihat ini adalah dengan memilih basis terlebih dahulu $B$ dari $W_1$. Ada berbagai cara untuk memperluas basis ini menjadi basis$W_1 \oplus W_2$, sehingga vektor tambahan ditambahkan ke $B$ mungkin menjangkau subruang yang berbeda.

Cara lain adalah membayangkan automorfisme $\alpha$ dari $V$, (mis $\alpha:V \to V$adalah peta linier yang dapat dibalik). Seandainya$W_1$ adalah subruang invarian dari $\alpha$. Kemudian$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ untuk semua itu $\alpha$.

Answer 2

Itu memang salah! Anda memiliki contoh itu$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ tapi $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$