Temukan setidaknya satu solusi sistem persamaan dengan batasan

Aug 18 2020

Pertimbangkan sistem persamaan dengan batasan $$ \begin{cases} x+y+z+t+u+v=3(a+b), \\ x+y+2(z+t)+3u=6b\\ 0 \leq x,y,z,t,u,v \leq 1, \end{cases} $$ sini $0 \leq a,b \leq 1$ adalah parameter tetap.

Saya perlu menemukan setidaknya satu solusi non-sepele dari persamaan tersebut. Di bawah nontrivial yang saya maksud adalah solusi yang berbeda dari$0$ dan $1$, itu akan sangat disukai oleh hampir semua orang $a,b.$ Lebih baik jika solusi diungkapkan dalam bentuk $a,b$. Jika tidak maka harus ada algoritma untuk menghitungnya.

Upaya saya. Saya memperlakukan masalah ini sebagai masalah pengoptimalan dan mencoba menggunakan metode simpleks. Sayangnya saya sangat sering mendapatkan solusi dengan banyak nol dan satu. Misalnya jika$a=0.22, b=0.34$ saya mendapat $$ t= 0.52,u= 0.0,v= 0.16,x= 1.0,y= 0.0,z= 0.0$$ dan itu tidak terlalu bagus.

Ada ide?

Jawaban

Noname Aug 18 2020 at 03:40

Menambah dan mengurangi, kita mendapatkan himpunan dari semua solusi menjadi:

$y=6a+u-2v-x$ dan $z=-3a+3b-t-2u+v$.

Jadi misalnya setting $a=\frac{1}{2}, u=\frac{1}{6}, v=\frac{6}{7},x=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{2}$ dan $b=\frac{2}{3}$ memberi $y=\frac{20}{21}$ dan $z=\frac{11}{21}$.