tentang manifold topologi

Question

Teorema fundamental dalam Topologi menegaskan bahwa jika $U \subset \mathbb{R}^{n}$ dan $V \subset \mathbb{R}^{m}$ bersifat homeomorfik $m=n$.

(i) - untuk bentuk di atas, coba tulis deskripsi dalam istilah ruang topologi yang sudah dikenal.

(ii) - Buktikan bahwa bola dengan rambut (bentuk di atas), bukan manifold topologis.

untuk (ii) kami memiliki: Manifold yang terhubung memiliki dimensi yang unik $n$, dan setiap poin $X$ kemudian memiliki homeomorfik lingkungan terbuka ke bola unit terbuka $\mathbb D^n\subset \mathbb R^n$.

Namun dalam foto $X$ poin yang berbeda dari $q$ pada rambut memiliki homeomorphic neigbourhood terbuka untuk $\mathbb D^1$ , sedangkan poinnya berbeda dari $q$ di bidang memiliki homeomorfik lingkungan terbuka untuk $\mathbb D^2$.

Sejak $X$ Berhubungan ini membuktikan bahwa ia bukan manifold, karena ia tidak dapat memiliki dimensi yang unik. jadi bentuk di atas bukanlah manifold topologi.

bagaimana kita bisa menjawab pertanyaan pertama? Juga kita ketahui bahwa bentuk di atas bersifat homeomorfik terhadap bulatan dan bulatan adalah manifold topologi tetapi bentuk di atas bukan merupakan manifold topologi. sehingga ditemukan dua ruang homeomorfik yang salah satunya bukan manifold topologi dan yang lainnya adalah manifold topologi. Apakah ini benar ?

Answer 1

Panggil space $X$. Anda bisa menulis spasi sebagai perekat bola$\mathbb{S}^2$ setengah interval terbuka

$$ X = \mathbb{S}^2 \coprod_{q = 0} [0,1)$$

Dengan kata lain, $X$ adalah pushout peta $\{\ast\} \rightarrow \mathbb{S}^2$ diberikan oleh $\ast \mapsto q$ dan $\{\ast\} \rightarrow [0,1)$ diberikan oleh $\ast \mapsto 0$.