Tentang operator Casimir grup Poincare

Question

Kami telah mendefinisikan operator Casimir untuk grup sebagai operator yang bepergian dengan semua generator grup itu. Untuk grup Poincare, kami menemukan dua operator Casimir:$p_\mu p^\mu$ dan $W_\mu W^\mu$ dimana $W_\mu$adalah vektor Pauli-Lubanski. Kalau mengecek apakah mereka memang operator Casimir, boleh saya bilang begitu$p_\mu p^\mu$yang dimaksud dengan skalar, secara otomatis berjalan dengan semua generator? Dan sama untuk operator Casimir kedua.

Answer 1

Sayangnya, operator invarian Lorentz tidak otomatis menjadi operator Casimir - Anda dapat melihat ini karena pada dasarnya ada skalar Lorentz independen yang tidak terbatas yang dapat Anda buat dari $M_{\mu\nu}$ dan $P_\mu$, sedangkan dimensi subaljabar Cartan dari kelompok Poincaré dapat diperlihatkan berhingga. Contohnya adalah$\frac12 M_{\mu\nu} M^{\mu\nu}$, yang sebenarnya merupakan operator Casimir dari subgrup Lorentz - tetapi di grup Poincaré penuh, operator ini gagal untuk bepergian dengan $P_\mu$, sehingga kurang menjadi operator Casimir untuk grup penuh.

Inti dari ini terletak pada fakta bahwa komutator $[AB, C]$ sama $A[B, C] + [A, C]B$, yang tidak identik nol (mungkin Anda telah terjebak dalam terminologi - itu identik nol untuk skalar seperti dalam angka , bukan skalar Lorentz )

Jadi metode yang paling mudah untuk membuktikan Casimir-an mereka adalah dengan hanya melakukan hubungan pergantian (beberapa trik dapat digunakan dalam kasus $W_\mu W^\mu$, tetapi itu di luar cakupan jawaban ini). Kebalikannya, membuktikan bahwa ini adalah satu - satunya 2 operator Casimir untuk grup Poincaré, jauh lebih rumit - lihat jawaban luar biasa dari David Bar Moshe ini untuk eksposisi.