Terapkan probabilitas bersyarat dua kali

Question

Menurut hukum probabilitas total, saya tahu itu $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$. Menerapkan logika yang sama, saya ingin mengatakan itu$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ Namun, saya tahu kesimpulan ini salah karena ketika Anda memperluas probabilitas - LHS tidak sesuai dengan RHS.

Bagaimana saya bisa berkembang dengan benar $P(A|B)$ dengan mengondisikan acara lain, misalnya $C$?

Answer 1

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$