Transformasi Fourier potensi Coulomb dalam QFT

Question

Saya mahasiswa magister fisika partikel dan saya ingin menemukan potensi coulomb $V(r)$ dari $\tilde{V}(p)$dalam Teori Lapangan Schwartz-Quantum dan Model Standar yang saya miliki$\tilde{V}(p)$ dari 16.58 hubungan: $$ \tilde{V}(p)= \frac{e_{R}^{2}}{p_{\mu}p^{\mu}}\tag{16.58} $$ yang $e_{R}$ dinormalisasi dibebankan. apa yang saya lakukan untuk mendapatkan $V(r)$ aku s: $$ V(r)=\int^{\infty}_{-\infty} \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} e^{ip_{\mu}x^{\mu}}\tilde{V}(p)=\int\frac{ d_{0}p d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{ip_{0}t-ipxcos\theta}\frac{1}{p_{0}^{2}-p^{2}} $$ dan pengambilan pertama $d_{0}p$ pada kontur atas dan: $$ \int d_{0}p e^{ip_{0}t}\frac{1}{(p_{0}-p)(p_{0}+p)}=i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ begitu: $$ V(r)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ menulis $d^{3}p=p^{2}dp d\phi dcos(\theta)$ kita punya: $$ V(r)=\int\frac{p^{2}dp d\phi dcos(\theta)}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ mengambil $dcos(\theta)$ integral dan kami mendapat: $$ \int^{1}_{-1} e^{-ipxcos(\theta)} dcos(\theta) = \frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx}) $$ kembali ke integral dan akhirnya kami mendapat: $$ V(r)=\int^{\infty}_{0}\frac{p^{2}dp}{(2\pi)^{3}}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p})\frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx})=\frac{1}{16\pi^{2}x}(\int^{\infty}_{-\infty} dp e^{ip(x+t)}-\int^{\infty}_{-\infty}dp e^{ip(t-x)}) $$ mana yang berbeda dan yang tidak $V(r)=\frac{-e_{R}^{2}}{4\pi r}$ dapatkah seseorang membantu saya ketika saya membuat kesalahan dan menunjukkan jalannya?

Answer 1

Berhati-hatilah karena Anda harus melakukan transformasi ke belakang dalam ruang 3D Fourier - untuk bidang foton $p^2 = 0$, jadi ekspresi asli Anda saat memulai tidak terlalu masuk akal. Selain itu, bidang Coulomb klasik tidak bergantung pada waktu, yang merupakan petunjuk lain untuk transformasi 3D.

Dalam buku Schwartz, ini dilakukan di Ch. 3.4.2 (Potensi Coulomb).

Merangkum hasilnya:

$$ V(r) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{e_R^2}{p^2} = \int \frac{e^2_R}{(2\pi)^3} e^{-ipr\cos\theta} \sin\theta \, d\theta d\phi dp = \frac{e^2_R}{(2\pi)^2} \frac{1}{ir}\int^\infty_0 dp \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{p} = \frac{e_R^2}{4\pi r} $$

dimana pada langkah terakhir saya telah menggunakan hasil yang diketahui dari integral Dirichlet:

$$ \int^\infty_0 \frac{e^{iz}}{z}dz = i \frac{\pi}{2} $$

Semoga ini membantu.