Trik singkat untuk menemukan jumlah subgrup Sylow p dalam kelompok permutasi. [duplikat]

Question

Aku tahu, $|S_4 |=24 =2^3\cdot3$.

Jadi di sini urutan sylow $2$ subkelompok adalah $8$ dan dengan teorema sylow ketiga kita dapat mengatakan jumlah sylow $2$ subkelompok adalah $1$ atau $3$. Kemudian dengan mencari sylow$2$ subkelompok secara eksplisit kita dapat menyimpulkan bahwa itu $3$. Namun disini kita juga mengetahui jumlah sylow$3$ subkelompok adalah $1$ atau $4$.

Pertanyaan saya adalah dapatkah kita menemukan jumlah pasti dari sylow $2$ dan $3$ subkelompok tanpa menghitung subkelompok sylow secara eksplisit, hanya dengan menghitung elemen dari subkelompok, karena kadang-kadang kita hanya membutuhkan jumlah yang tepat dalam subkelompok sylow?

Answer 1

Seharusnya $S_4$ memiliki Sylow yang unik $2$-subkelompok katakan $K$. Dengan Teorema Kedua Sylow,$K$ harus normal $S_4$. Tapi$S_4$ tidak memiliki subgrup normal apa pun $8$(Lihat di sini ). Oleh karena itu jumlah Sylow$2$-subgrup di $S_4$ harus tiga.