Tunjukkan bahwa proyeksi ortogonal dapat didiagonalisasi

Question

Membiarkan $S \subset V$ menjadi subruang dari ruang vektor berdimensi hingga $V$. Tunjukkan proyeksi ortogonal$P_S:V \to S$dapat didiagonalisasi. Saya tidak tahu bagaimana memulai pertanyaan ini. Bisakah seseorang membantu saya memulai dengan petunjuk?

Answer 1

Membiarkan $u_1,\ldots,u_d$ menjadi dasar ortonormal $V$ jadi yang pertama $k$ vektor basis terletak di subruang $S$. Kemudian$P_S(u_j)=u_j$ untuk $j\le k$. Juga,$P_S(u_j) = 0\cdot u_j$ untuk $j > k$.

Lebih detail: Transformasi linier$T:V\rightarrow V$ dapat didiagonalisasi jika ada basis dari $V$terdiri dari vektor eigen dari transformasi. Proyeksi ortogonal$P_S$ bertindak sebagai identitas di subruang $S$ dan memetakan elemen apa pun dari $S^\perp$ (vektor ortogonal ke $S$) ke $0$. $P_S$ didefinisikan oleh $P_S^2=P_S$ dan $P_S^*=P_S$. Gambar proyeksi ortogonal$P_S$ akan $S\subset V$ dan kernel akan menjadi $S^{\perp}$.

Karena kita tahu itu $\dim(S)+\dim(S^{\perp}) = \dim(V)$, dan kami tahu itu $P_{S}$ bertindak sebagai identitas pada $S$ dan bertindak sebagai $0$ di $S^{\perp}$, kita bisa mendiagonalisasi $P_{S}$ dengan dasar apapun $u_1,\ldots, u_d$ dengan yang pertama $\dim(S)$ elemen di $S$ dan yang terakhir $\dim(S^{\perp})$ elemen di $S^{\perp}$. Basis seperti itu selalu ada, misalnya dengan memperluas basis$S$ ke dasar $V$, kemudian menerapkan proses Gram Schmidt.

Catat itu $P_S$ sebenarnya dapat didiagonalisasi secara unitar / ortogonal, karena kita dapat mendiagonalisasi dengan basis ortogonal.

Answer 2

Kondisi ortogonalitas berlebihan. Setiap proyeksi aktif$V$, apakah itu ortogonal atau tidak, dapat diagonalisasi.

Apporach 1: polinomial minimal dari $P$ harus membagi $x(x-1)$.

Pendekatan 2: sebagai $P$ adalah proyeksi, kami punya $V=PV\oplus\ker(P)$ dan Anda dapat membangun basis eigen $P$.