Tunjukkan bilangan prima ganjil $p\geq 5,$ $(-3/p)=1$ atau $ -1$ [duplikat]

Aug 17 2020

Tunjukkan bilangan prima ganjil $$p\geq 5,$$ $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 1,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv -1,5\pmod{12} \end{cases}$$

Sejauh ini saya punya itu

(1) Biarkan $$p\equiv 1\pmod{4}$$ kemudian $$p\equiv 1\pmod{3}$$ mendapatkan $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{1}{3} \right )=-1$$

(2) Biarkan $$p\equiv 1\pmod{4}$$ kemudian $$p\equiv 2\pmod{3}$$ mendapatkan $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{2}{3} \right )=1$$

(3) Biarkan $$p\equiv 3\pmod{4}$$ kemudian $$p\equiv 1\pmod{3}$$ mendapatkan $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )=1$$

(4) Biarkan $$p\equiv 3\pmod{4}$$ kemudian $$p\equiv 2\pmod{3}$$ mendapatkan $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=-1$$

Setelah menyelesaikan sistem CRT yang saya dapatkan, $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 5,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv 1,-1\pmod{12} \end{cases}.$$

Jadi saya tidak yakin di mana saya mengacau. Bantuan apa pun akan dihargai.

Jawaban

2 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 04:57

Anda mengacaukan beberapa perhitungan. Kapan$p\equiv1\pmod4$, $\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac{-1}p\right)\left(\dfrac{3}p\right)=1\left(\dfrac p3\right)$,

jadi dalam kasus tersebut $\left(\dfrac{-3}p\right)=1$ kapan $p\equiv1\pmod3$ dan $\left(\dfrac{-3}p\right)=-1$ kapan $p\equiv2\pmod3$ .