Untuk nilai yang mana $\alpha$ aku s { $z_n$} urutan berbatas?

Aug 16 2020

Dimana $\alpha$ adalah konstanta nyata, pertimbangkan urutannya {$z_n$} didefinisikan oleh $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. Untuk nilai berapa$\alpha$ aku s {$z_n$} urutan berbatas?

Bagaimana saya memulai dengan pertanyaan semacam ini? Saya pikir begitu$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ urutannya konvergen dan karena itu dibatasi, tetapi bagaimana cara menulisnya?

Jawaban

1 Zuy Aug 16 2020 at 17:30

Jika $\alpha=0$, $(z_n)$ konstan, karenanya dibatasi.

Jika $\alpha>0$, $(z_n)$ konvergen ke 0 dan dengan demikian dibatasi.

Jika $\alpha<0$, $(z_n)$ menyimpang ke $+\infty$ dan dengan demikian tidak dibatasi.

1 BenGrossmann Aug 16 2020 at 17:32

Seperti yang saya nyatakan di komentar, Anda memiliki jawaban yang benar. Satu-satunya tugas yang tersisa adalah memberikan penjelasan formal tentang jawabannya. Salah satu cara untuk menulis jawaban adalah sebagai berikut:

Pertama, kita perhatikan fungsinya $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ didefinisikan oleh $f(x) = x^{\beta}$ memuaskan $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ Saya menduga Anda tidak perlu membuktikan pernyataan ini secara resmi: kemungkinan besar ada pernyataan di buku teks yang bisa Anda rujuk.

Setelah itu, atasi masalah di $3$ kasus: dalam kasus itu $\alpha < 0$, Simpulkan dengan menggunakan fakta di atas bahwa $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, yang berarti urutannya tidak dibatasi. Dalam hal itu$\alpha = 0$, simpulkan itu $z_n \to 0$, yang berarti bahwa urutannya konvergen dan oleh karena itu dibatasi. Begitu pula jika$\alpha > 0$, simpulkan itu $z_n \to 0$, yang berarti bahwa urutannya konvergen dan oleh karena itu dibatasi.

Jadi, kita menyimpulkan bahwa urutannya dibatasi jika dan hanya jika $\alpha \geq 0$.