Urutan konstan dari jumlah parsial dalam rangkaian divergen

Aug 16 2020

Dalam seri harmonik, kami punya $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ untuk semua $n$, yang menyiratkan divergensi. Namun, sebagian dari jumlah tersebut$n$ untuk $2n$, dievaluasi pada $n$, sama $\ln(2)$ untuk semua $n$. Bukankah ini menyiratkan urutan jumlah parsial telah menyatu dengan nilai$\ln(2)$, yang pada gilirannya, menyiratkan bahwa rangkaian tersebut harus bertemu? Saya merasa seperti saya tidak memahami sesuatu yang mendasar tentang kriteria Cauchy dan konvergensi dll - apakah ini bukan urutan jumlah parsial sama sekali, karena hal-hal lucu yang kita lakukan dengan interval? Terima kasih atas bantuan Anda.

Jawaban

3 PacoAdajar Aug 15 2020 at 23:09

Pertama, hal kecil: jumlah parsial dari $n$ untuk $2n$ pendekatan $\ln{2}$, tetapi tidak akan pernah benar-benar menyamainya. (Mengapa?)

Kedua, hal yang lebih utama: Faktanya, yang telah Anda tunjukkan adalah urutan jumlah parsial $\{ H_n\}$bukanlah Cauchy, dan karenanya tidak konvergen. Memang, jika itu Cauchy, maka menurut definisi$|H_{2n} - H_n| \to 0$. Ini karena untuk siapa saja$\epsilon > 0$, harus ada $N(\epsilon)$ untuk itu $|H_m - H_n| < \epsilon$ kapanpun $m, n > N(\epsilon)$; kami kemudian memilih$m = 2n$ sini.