Aiuto con la dimostrazione del teorema di Borel-Lebesgue

Aug 20 2020

Il teorema, come si vede nel libro di testo Analysis 1 di Vladimir A. Zorich:

Ogni famiglia di intervalli aperti, che copre un intervallo chiuso, contiene una sottofamiglia finita, che copre l'intervallo chiuso.

Prova. Permettere$S=\{U\}$ essere una famiglia di intervalli aperti $U$ che coprono l'intervallo di chiusura $[a,b]=I_1$. Se$I_1$ non può essere coperto da un insieme finito di intervalli della famiglia $S$, quindi dividiamo $I_1$in due metà. Almeno una delle metà, denotiamo con$I_2$, non consente una copertura finita. Ripetiamo questo processo con l'intervallo$I_2$ e così via.

In tal modo, creiamo una sequenza annidata $I_1\supset I_2 \supset \dots \supset I_n \supset \dots$ di intervalli chiusi, tra i quali nessuno consente una copertura di una sottofamiglia finita di S. Poiché la lunghezza di $I_n$ è uguale a $|I_n|=|I_1|\cdot 2^{-n}$, la sequenza $\{I_n\}$contiene intervalli di lunghezza arbitrariamente piccola. Secondo la proprietà Intervallo annidato, esiste un punto$c$, che si trova in tutti questi intervalli $I_n, n\in \mathbb{N}$. Da$c \in I_1 = [a,b]$, esiste un intervallo aperto $ (\alpha, \beta)=U \in S$, quello contiene $c$, cioè $\alpha < c < \beta$. Permettere$\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$. Nella sequenza di intervalli creata in precedenza, possiamo trovare un intervallo$I_n$, tale che $|I_n|< \epsilon$. Da$c \in I_n$ e $|I_n|<\epsilon$, ne consegue che $I_n \subset U=(\alpha, \beta)$. Ciò è in contraddizione con il fatto che l'intervallo$I_n$non può essere coperto con un insieme finito di intervalli della famiglia. E quindi l'affermazione iniziale è vera.

Fine della prova.


Due cose che non riesco a cogliere:

  1. Perché la scelta di $\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$uno buono, e come dovresti inventartelo tu stesso? O quale informazione avevamo prima della scelta$\epsilon$, dovrebbe indicare quale dovrebbe essere la scelta?
  2. Perché è da $c\in I_n$ e $|I_n|<\epsilon $ seguendo quello $I_n\subset U=(\alpha, \beta)$ ?

Ho tradotto il testo dal tedesco, spero che non ci siano discrepanze tra i termini.

Risposte

1 Vercassivelaunos Aug 20 2020 at 16:01

$c-\alpha$ è la distanza tra $c$ e l'estremità inferiore dell'intervallo $(\alpha,\beta)$. Allo stesso modo,$\beta-c$ è la distanza da $c$all'estremità superiore dell'intervallo. Normalmente scriveremmo$\vert \alpha-c\vert$ e $\vert \beta-c\vert$, ma dal momento che lo sappiamo $\alpha<c<\beta$, possiamo tralasciare i valori assoluti e scegliere semplicemente l'ordine corretto per la sottrazione: $c-\alpha$ perché $\alpha<c$, e $\beta-c$ perché $c<\beta$. E poi il minimo$\epsilon$ dei due è solo la distanza minima di $c$ai confini dell'intervallo. Significa che tutto ciò che è più vicino di$\epsilon$ per $c$ è sia maggiore di $\alpha$ e più piccolo di $\beta$, quindi tutto ciò che è a distanza $\epsilon$ di $c$ è anche all'interno dell'intervallo $(\alpha,\beta)$. E questo è il caso di$I_n$: poiché contiene $c$ e ha una lunghezza inferiore a $\epsilon$, tutti i punti dentro $I_n$ sono più vicini di $\epsilon$ per $c$, e sono quindi contenuti in $(\alpha,\beta)$. E poi così è$I_n$.