Anello dei divisori di un numero naturale e somma dei divisori come autovalore e norma spettrale di qualche matrice?
Permettere $n$ essere un numero naturale e $D_n$essere l'insieme dei divisori. Possiamo rendere questo insieme un anello osservando che ogni divisore$d$ ha
$$0 \le v_p(d) \le v_p(n)$$
Quindi possiamo aggiungere due divisori $d,e$ IMPOSTANDO:
$$d \oplus e := \prod_{p | n} p^{v_p(d)+v_p(e) \mod (v_p(n)+1)}$$
e analogamente possiamo moltiplicarli impostando: $$d \otimes e := \prod_{p | n} p^{v_p(d) \cdot v_p(e) \mod (v_p(n)+1)}$$
Allora, se $n = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$, questo anello sarà isomorfo all'anello
$$\mathbb{Z}/(a_1+1) \times \cdots \times \mathbb{Z}/(a_r+1)$$
Se $n$ è squarefree, che si riduce a:
$$d\oplus e = \frac{de}{\gcd(d,e)^2}$$
$$d\otimes e = \gcd(d,e)$$
e l'anello dei divisori è un anello booleano come definito qui https://mathoverflow.net/questions/369751/boolean-ring-of-unitary-divisors-structure-of-unitary-divisorse qui Questo caratteristico fattore polinomiale in fattori lineari sugli interi?
Se consideriamo la tabella delle addizioni ($\oplus$) di questo anello come matrice, quindi è chiaro che la somma dei divisori $\sigma(n)$ è un autovalore per l'autovettore:
$$(1,\cdots,1)$$
Ecco come esempio l'aggiunta ($\oplus$) tavolo per $n=12$:
$$\left(\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ 2 & 4 & 6 & 1 & 12 & 3 \\ 3 & 6 & 1 & 12 & 2 & 4 \\ 4 & 1 & 12 & 2 & 3 & 6 \\ 6 & 12 & 2 & 3 & 4 & 1 \\ 12 & 3 & 4 & 6 & 1 & 2 \end{array}\right) $$
Ho controllato numericamente ($n=1,\cdots,60$) quello
$$\sigma(n) = |A_n^k|_2^{1/k}, \forall k \ge 1$$
dove $A_n$ è la matrice di addizione di questo anello.
C'è una prova per questo? Grazie per l'aiuto!
Risposte
Lo noti già $\sigma(n)$ è un autovalore di $A_n$, da cui ne consegue $$|A_n^k|_2^{1/k}\geq\rho(A)\geq\sigma(n),$$ per ogni numero intero positivo $k$. Qui$\rho(A)$ denota il raggio spettrale di $A$. Ovviamente$$|A_n^k|_2^{1/k}\leq|A_n|_2,$$ quindi ora è necessario e sufficiente dimostrarlo $|A_n|_2\leq\sigma(n)$ per tutti $n$.
Nota che per un corretto ordinamento di $D_n$, la matrice $A_n$ è una matrice a blocchi: la scrittura $n=\prod_{p\mid n}p^{a_p}$ e ambientazione $n_p:=\frac{n}{p^{a_p}}$ per ogni primo $p$ dividendo $n$, lo troviamo $$A_n=\big[p^{i+j\pmod{a_p+1}}A_{n_p}\big]_{i,j=0\ldots a_p},$$ per ogni primo $p$ dividendo $n$. Quindi impostazione$$C(p^{a_p}):=\big[p^{i+j\pmod{a_p+1}}\big]_{i,j=0\ldots a_p},$$ rendimenti $A_n=C(p^{a_p})\otimes A_{n_p}$, e quindi per induzione $A_n=\bigotimes_{p\mid n}C(p^{a_p})$, da cui ne consegue $$|A_n|_2=\prod_{p\mid n}|C(p^{a_p})|_2.$$ Per ogni potenza primaria $p^{a_p}$ le voci di $C(p^{a_p})$ sono positivi e la somma su ogni riga è uguale $$\sum_{i=0}^{a_p}p^i=\frac{p^{a_p+1}-1}{p-1}=\sigma(p^{a_p}),$$quindi dal teorema di Perron-Frobenius (vedi punto 11) otteniamo$|C(p^{a_p})|_2=\sigma(p^{a_p})$, e quindi $$|A_n|_2=\prod_{p\mid n}|C_p|_2=\prod_{p\mid n}\sigma(p^{a_p})=\sigma(n).$$ Concludiamo quello $|A_n^k|_2^{1/k}=\sigma(n)$ per ogni numero intero positivo $k$.