Applicando i coefficienti di una riga del triangolo di Pascal a voci adiacenti di una riga successiva si ottiene sempre una voce nel triangolo?

Aug 18 2020

Mi chiedevo come dimostrare che in generale, se prendo una riga qualsiasi del triangolo di Pascal e applico tutti i coefficienti di quella riga alle voci adiacenti di una riga successiva, otterrai una voce nel triangolo di Pascal?

Ad esempio, si può dimostrarlo se si applicano i coefficienti $1,2,1$nella seconda riga a qualsiasi riga successiva, ottieni una voce nel triangolo di Pascal. Più formalmente,$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} +{n\choose r+2} = {n+2\choose r+2} \tag1$$ Allo stesso modo, mostrare che l'applicazione dei coefficienti della terza riga a righe successive risulta in una voce nel triangolo di Pascal comporterebbe mostrare che $${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = {n + 3\choose r+3} \tag2$$

So come mostrare $(1)$ utilizzando la definizione di scelta: ${n\choose k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}$e semplicemente espandendo tutti i termini e semplificando. Ma se si mostrasse il caso generale, forse sarebbe necessaria una sorta di induzione?

Ad esempio, forse questo equivale a dimostrarlo $$\sum_{i=0}^j {j\choose i} {n\choose r + i} = {n + j\choose r+j} \tag3$$ per $j\geq 1$. Il caso base è solo l'identità di Pascal, e conosco una dimostrazione combinatoria oltre che una dimostrazione algebrica per essa. Assumi l'ipotesi induttiva. Dobbiamo dimostrarlo$$\sum_{i=0}^{j+1} {j+1\choose i}{n\choose r+i}={n+j+1\choose r+j+1} \tag4$$ Tuttavia, non riesco a trovare un buon rapporto tra questo passaggio e l'ipotesi induttiva.

Questa è, in un certo senso, una generalizzazione dell'identità di Pascal.

Risposte

WillJagy Aug 18 2020 at 08:18

sì funziona. Ecco come fare l'induzione, illustrato ...

$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + {n\choose r+1} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + {n\choose r+2} \right\} = $$

$$ $$ $$ $$

= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =

$${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2}\right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 2{n\choose r+2} + {n\choose r+3}\right\} = $$

$$ $$ $$ $$

= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =

$${n\choose r} + 4{n\choose r+1} + 6{n\choose r+2} + 4{n\choose r+3} + {n\choose r+4}= $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} +{n\choose r+3} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + 3{n\choose r+3} +{n\choose r+4} \right\} = $$