approssimazione fluido incomprimibile e fluido vs velocità del suono
si consideri il caso seguente: Un tubo diritto, con una portata di massa d'acqua costante $\dot m_{in}=\dot m_{out}$ , e con una potenza lineare che vi entra $\dot Q [\frac W m]$. E l'acqua è la fase liquida in tutto il tubo.
Il mio professore ci ha detto che in questo caso il fluido incomprimibile è una buona approssimazione se la velocità dell'acqua è molto inferiore alla velocità del suono. Puoi spiegarmi perché questo dovrebbe essere un buon criterio? In particolare quello che mi confonde è che la densità dovrebbe cambiare a seconda della regione di temperatura.
Risposte
Dipende dalla velocità.
In particolare quello che mi confonde è che la densità dovrebbe cambiare a seconda della regione di temperatura.
Hai affermato che l'acqua rimane liquida per tutta la lunghezza del tubo e se hai dato un'occhiata alla tabella delle proprietà dell'acqua alla pressione atmosferica nell'intervallo da 32 a 90 gradi Celsius, la variazione di densità sarebbe di circa il 3%, quindi difficilmente comprimibile.
La definizione matematica di incomprimibilità del flusso è che la divergenza del vettore velocità è zero: $$ \nabla.\vec{V}= \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 $$
Ma questa definizione può essere in qualche modo confusa, ad esempio la variazione di densità dell'acqua a temperatura ambiente è trascurabile, come nel nostro esempio precedente. Ma se pompate la stessa acqua a velocità vicine alla velocità del suono specifica per il materiale, il flusso ora è comprimibile.
Quindi, si dice che un flusso è comprimibile se la sua velocità è circa il 30% della sua velocità del suono o del suo numero di Mach $\text{Ma}_{crit} \ge 0.3$.
La velocità del suono sull'acqua a 20 gradi C è approssimativamente $1,480$ m / s e la velocità corrispondente a $\text{Ma} = 0.3$ è $v = 444$ m / s, che non è difficile da ottenere utilizzando un getto d'acqua.
Quindi, nel tuo problema puoi calcolare la gamma di velocità che potresti avere e confrontarla $\text{Ma}_{crit}$, per verificare se il flusso del fluido si avvicina a comprimibile o incomprimibile.
Nota: questa risposta si basa sulla discussione di Rodriguez sull'approssimazione incomprimibile nella dinamica dei fluidi computazionali, altamente raccomandata.
La domanda confonde due concetti separati. Uno è l'idea del flusso incomprimibile e l'altro è il flusso a densità costante.
Il professore si riferisce a un criterio che consente di utilizzare le equazioni di flusso incomprimibili, senza aggiunta di calore. Quando si derivano le equazioni di flusso più generali, utilizzando la seconda legge di Newton, la conservazione della massa e l'equazione di stato, si scopre che esiste un parametro importante chiamato Mach Number, M, definito come velocità del fluido divisa per la velocità locale del suono. Inoltre, M appare come M ^ 2, e quest'ultimo appare spesso in termini come (1 - M ^ 2). Quando studi queste equazioni, scopri che se trascuri M ^ 2 rispetto all'unità, scopri che non può esserci variazione nella densità. Quindi, se M ^ 2 è << 1, puoi usare le equazioni di flusso incomprimibili, senza aggiunta di calore. In pratica questo significa per flussi in cui approssimativamente M ^ 2 <0,1 o M <0,3.
Con l'aggiunta di calore, è necessario invocare oltre ai principi sopra menzionati l'equazione energetica. Si tratta di un insieme molto più complicato, ed è spesso vantaggioso cercare semplificazioni meno accurate, ma molto utili, a meno che non sia ovvio che i cambiamenti di densità - per qualsiasi motivo - sono caratteristiche importanti del flusso.