Base per l'algebra di bugia sl (n, F): $\mathfrak{sl}(2,F)$

Question

$\mathfrak{sl}(2,F)$ è la bugia subalgebra di $\mathfrak{gl}(2,F)$. Permettere$x=\begin{pmatrix} 0 &1\\ 0&0 \end{pmatrix}$, $h=\begin{pmatrix} 1 &0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$ $y=\begin{pmatrix} 0 &0\\ 1&0 \end{pmatrix}$.

Capisco $\{x,y,z \}$ costituisce una base per $\mathfrak{sl}(2,F)$ e aveva trovato le costanti di struttura.

Ho seguenti domande urgenti. Per favore aiutami con questo.

1. Perché le persone lavorano specificamente su questa base?
2. Esiste una base ordinata simile per $\mathfrak{sl}(n,F)$?
3. Suggeriscimi una buona serie di problemi sull'algebra di menzogna di base da praticare.

Grazie in anticipo.

Answer 1

Domanda 1: Questa base si adatta alla teoria generale delle algebre di Lie semisemplici. Vale a dire,$x$ e $y$ sono nilpotenti, con $x\in \mathfrak{n}^+$ e $y\in \mathfrak{n}^-$, per $\mathfrak{n}$ il nilradicale della subalgebra Borel standard, e $h\in \mathfrak{h}$è diagonale. Così$$\mathfrak{sl}_2(F)=\mathfrak{n}^-\oplus \mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}^+$$

Domanda 2: Sì, ce n'è uno simile per$\mathfrak{sl}_n(F)$, dove le matrici diagonali si estendono sulla subalgebra di Cartan $\mathfrak{h}$.

Domanda 3: In effetti, prendi i problemi del libro di Humphrey. Le soluzioni sono anche online (vedi ad esempio qui ).