Calcola il momento angolare totale di un oggetto rotante su 2 assi (es. Terra)
Considera la Terra. Ruota attorno al proprio asse (passando attraverso i poli) con una certa velocità angolare$\vec\omega$e intorno al sole, con una certa velocità angolare $\vec\Omega$.
In ogni libro di testo / pagina web che ho visto finora, ho visto il momento angolare dovuto all'orbita del sole calcolato separatamente dal momento angolare dovuto alla rotazione della Terra attorno al proprio asse.
Grande. Ma come ottengo il momento angolare completo della terra?
Sono consapevole della seguente risposta: Momento angolare del corpo rotante e rotante (terra) , ma non credo che risponda alla domanda. La risposta utilizza una velocità angolare$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- ma come potresti ottenere quella velocità se l'oggetto ruota intorno ai 2 assi? Il teorema di rotazione di Eulero non si applica, perché uno degli assi non è sull'oggetto.
Pertanto, ribadirò la domanda: data una velocità angolare orbitante $\vec\Omega$ e velocità angolare attorno all'asse terrestre $\vec\omega$, come potrei trovare il momento angolare totale della Terra (o un oggetto che mostra una descrizione di rotazione simile con 1 asse di rotazione sul corpo, l'altro spento)?
Risposte
Innanzitutto, considera che la rotazione della Terra è ad angolo rispetto all'asse orbitale.
Qui $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
La rotazione combinata (dato il titolo relativo all'asse x negativo dall'alto) è
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
che può essere tradotto in
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
Ciò che è interessante è che puoi calcolare il centro di rotazione istantaneo della terra rispetto alla terra $(c_y,c_z)$ ($c_z$mostrato in negativo sotto). Questo è il punto su cui gira effettivamente la terra.
Per trovare il punto calcolare la velocità orbitale (l' asse x positivo è fuori dalla pagina)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
e poi il centro di rotazione
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
che è interessante considerando in unità di distanza lunare (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
che è sempre quasi un LD verso il sole, e metà LD sotto la terra nel solstizio d'estate e metà LD sopra la terra nel solstizio d'inverno.
Ora che la cinematica della terra è stabilita, possiamo parlare di dinamica.
La terra sta ruotando con $\vec{w}$ e così è il suo momento angolare al centro della terra $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ dove ${\rm I}_E$ è il momento di inerzia di massa della terra.
Ma poiché anche la terra si sta traducendo, ha una quantità di moto lineare $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Per calcolare il momento angolare della terra intorno al sole, combiniamo entrambe le quantità con la seguente regola
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Se fai il calcolo troverai la maggior parte del momento angolare lungo l' asse z , con una piccola componente lungo l' asse y .
Ciò che è interessante è che puoi trovare la posizione nello spazio in cui passa l'asse di percussione della terra. In modo simile a sopra, questo punto è
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
Il significato di questo punto nello spazio è che se dovessi applicare uno slancio uguale e opposto $\vec{p}$alla terra attraverso il centro di percussione, la terra non solo smetterebbe di orbitare ma smetterebbe anche di ruotare . Puoi rimuovere tutta l'energia cinetica della terra con un impulso attraverso questo punto. Fermerebbe la terra sulle sue tracce.
Sorprendentemente, la regola per sommare due velocità angolari non dipende dal fatto che l '"asse di queste velocità angolari" passi o meno attraverso l'oggetto e se si intersecano o meno.
La velocità angolare di un corpo non dipende dalla scelta del sistema di riferimento inerziale. Supponiamo di avere una freccia attaccata al corpo; al momento$t_0$ questa freccia indicava una stella lontana $A$; al momento$t_1$ questa freccia indicava un'altra stella lontana $B$- beh, se è vero, allora lo è in tutti i sistemi di riferimento inerziali. E quanto velocemente cambia l'orientamento del corpo - non dipende dal sistema di riferimento (fintanto che il sistema di riferimento è inerziale).
Ora misuriamo la velocità angolare totale della Terra. È possibile prima misurarlo nel sistema di riferimento attaccato al Sole e ruotando in modo tale che la velocità della Terra sia zero. Diciamo che la velocità angolare della Terra in questo quadro di riferimento è$\vec\omega$. La velocità angolare del sistema di riferimento è$\vec\Omega$, quindi la velocità angolare totale della Terra è $\vec\omega + \vec\Omega$. È un vettore diretto verso la stella polare, la sua magnitudine è approssimativamente$1/86164sec$ - dove 86164 è il numero di secondi nel giorno siderale, cioè il periodo di rotazione della Terra rispetto a stelle lontane.
Passiamo ora alla seconda parte della tua domanda: "In ogni libro di testo / pagina web che ho visto finora, ho visto il momento angolare dovuto all'orbitazione del sole calcolato separatamente dal momento angolare dovuto alla rotazione della Terra attorno al proprio asse. "
Questa volta il sistema di riferimento è attaccato al Sole ed è inerziale. Un modo "giusto" per calcolare il momento angolare totale della Terra in questo quadro di riferimento è dividere la Terra in molte piccole parti, calcolare la quantità di moto di ciascuna parte e riassumere i risultati. Un modo più semplice sarebbe calcolare la quantità di moto attorno al centro di massa della Terra, che calcolare la quantità di moto della Terra come se tutta la sua massa fosse situata nel suo centro di massa e sommare questi due vettori. Il risultato totale sarebbe lo stesso: è un semplice teorema matematico.
Nota che la quantità di moto dovuta alla rotazione della Terra attorno al suo asse è molto più piccola della quantità di moto dovuta alla rotazione della Terra attorno al Sole. Ancora più importante, non solo la quantità di moto totale di Erath (che è la somma di questi due vettori) è costante nel tempo, ciascuna di queste componenti è costante stessa! (ignoriamo l'influenza della Luna e di altri pianeti). Quindi, se vuoi calcolare i dettagli di come la velocità della Terra dipende dalla distanza dal Sole (leggi di Keppler), puoi tranquillamente ignorare la parte "rotazione attorno al proprio asse" del momento angolare della Terra.