Calcolo che coinvolge forme differenziali complesse
Sto leggendo questa nota di lezione sulla geometria complessa e sono bloccato su un calcolo (apparentemente di base) che coinvolge forme differenziali complesse. Supponiamo$X$ è una superficie complessa e $\omega$ è una forma olomorfa (1,0), cioè $\omega$ viene ucciso dall'operatore $\overline{\partial}$. Permettere$\overline{\omega}$essere la corrispondente forma coniugata (0,1). L'autore lo afferma
\ begin {equation *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {equation *}
Da allora $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, il lato destro non è altro che $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Ma non riesco a vedere come si possa scrivere il lato sinistro nella stessa espressione (usando la regola usuale per le derivate esterne). Qualsiasi intuizione sarà apprezzata.
Risposte
Il LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ è una forma a tre mentre la RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$è una forma quattro. Non sono la stessa cosa.
Guardando la nota, hanno scritto
Ora dal teorema di Stokes $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (perché $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).
Credo che sia solo un errore di battitura e probabilmente intendono $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$