Calcolo del genere di una curva finita $\mathbb Q$
Sto cercando di calcolare il genere di una curva su un campo chiuso non algebricamente tramite Riemann-Hurwitz.
Permettere $K = \mathbb Q(t)$ con $t$ trascendentale e lascia $F$ essere l'estensione di $K$ ottenuto unendo una radice di $$f(x) = x^2 - (t^2 - 10t - 5)$$
Da $K$è associato allo spazio proiettivo, ha genere zero. Permettere$g$ essere il genere di una curva liscia con campo funzione isomorfo a $F$. Poi Riemann-Hurwitz lo dice $$2g -2 = 2*(-2) + \sum_{P} e_P - 1$$ $$g = -1 + \frac 12 \sum_{P} e_P - 1$$
Dal discriminante, sembra che la curva sia ramificata in due punti, $\infty$ e $(t^2 - 10t - 5)$ con indice di ramificazione $2$a ciascuno. Questo da$g=0$.
Se cambio base in $\mathbb Q(\alpha)$ dove $\alpha$ è una radice di $t^2 - 10t - 5$, sembra che la mappa sarebbe ora ramificata in tre punti: $\infty$, $t-\alpha$, e $t-\alpha'$, il coniugato di $\alpha$, tutti con indice $2$. Ma questo farebbe il genere$1/2$ il che è assurdo, oltre al fatto che pensavo che il genere fosse un invariante geometrico.
Perché i due sembrano funzionare in modo diverso, e soprattutto cosa sta andando storto con l'ultimo calcolo?
Risposte
Ecco l'affermazione del Teorema di Riemann-Hurwitz a cui ho accennato nei commenti. (Rosen, Teoria dei numeri nei campi funzionali , Teorema 7.16, p. 90).
Teorema. Permettere$L/K$essere un'estensione geometrica finita, separabile, di campi funzione. Poi $$ \DeclareMathOperator{\D}{\mathfrak{D}} \DeclareMathOperator{\P}{\mathfrak{P}} 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \deg_L(\D_{L/K}) $$ dove $\mathfrak{D}_{L/K}$ è l'ideale diverso.
Se tutti i numeri primi ramificati di $L$ sono docilmente ramificati (che è il caso qui poiché il campo di terra ha caratteristiche $0$), poi $\D_{L/K} = \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \P$, quindi la formula diventa $$ 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \deg_L(\P) \, . $$
Passando al tuo esempio, il tuo errore è questo $F$ non è ramificato sopra $\infty$. Un modo geometrico per vedere questo è il seguente. Omogeneizzazione della definizione della curva$F$, otteniamo la curva $C: X^2 - (Y^2 - 10YZ - 5Z^2) = 0$, dove $x = X/Z$ e $t = Y/Z$e stiamo considerando la mappa $\pi: C \to \mathbb{P}^1$, $[X:Y:Z] \mapsto [Y:Z]$. Calcolare$\pi^{-1}([1:0])$, ci colleghiamo $Z = 0$ nell'equazione per $C$, ottenendo $$ 0 = X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y) $$ così $\pi^{-1}([1:0]) = \{[1:1:0], [1:-1:0]\}$. Da$\sum_i e_i f_i = 2$ dall'identità fondamentale, quindi $f_i = e_i = 1$, così $\pi$ è senza cornice sopra $\infty$.
Per un approccio più teorico del campo funzionale, lascia $s = 1/t$ e $r = x/t = xs$. Quindi ordine massimo di$F$ all'infinito è $R := \frac{\mathbb{Q}[r,s]}{(r^2 - (1 - 10s - 5s^2))}$. Per determinare la suddivisione sopra$\infty$, esaminiamo come $sR$fattori. Usando l'equazione che definisce$R$, noi troviamo $sR = (r-1,s)(r+1,s)$, e questi numeri primi sono distinti, quindi $F$ è senza cornice sopra $(s)$.
Permettere $\P = (x)$ e $P = (t^2 - 10t - 5)$. Il campo residuo di$\P = (x)$è \ begin {align *} \ frac {\ mathbb {Q} [t, x] / (x ^ 2 - (t ^ 2 - 10t - 5))} {(x)} \ cong \ frac {\ mathbb { Q} [t]} {(t ^ 2 - 10t - 5)} \ end {align *} che ha dimensione$2$ come un $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale, quindi $\deg_L(\P) = 2$.
Applicando Riemann-Hurwitz, abbiamo \ begin {align *} 2g_L - 2 = 2 (2 \ cdot 0 - 2) + (e (\ P / P) - 1) \ deg_L (\ P) = -4 + (2 -1) \ cdot 2 = -2 \ end {align *} così$g_L = 0$, come avevamo sperato.