Calculus sin limite con due variabili [multivariable-calculus]

Question

Come risolvo il limite inferiore

$$\tag{1} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin(x+y)}{x+y}?$$

Il mio approccio:

Ho usato le coordinate polari$x = r \cos(\theta)$e$y = r \sin(\theta)$

quindi (1) =>$$\tag{2} \lim_{r\to 0} \frac{\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}{r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}.$$

E poi prima soluzione :

ho impostato$w = r (\cos(\theta) + \sin(\theta)$cosi quando$r\to 0 $e$w\to 0$

(2)$\Rightarrow \lim_{w\to 0} \frac{sin(w)}{w}= 1$.

Seconda soluzione : regola de L'Hospital:

\begin{align} (2) \Rightarrow \lim_{r\to 0} \frac{(\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}{(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}& = \lim_{r\to 0} \frac{\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))*(\cos(\theta) + \sin(\theta))}{\cos(\theta) + \sin(\theta)}\\ & = \lim_{r\to 0} {\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))} = \cos(0) = 1. \end{align}

Il mio approccio è corretto? In caso contrario, puoi fornire una soluzione corretta?

Answer 1

Puoi usarlo$z(x,y)=x+y$e$f(t)=\frac{\sin t}{t}$sono funzioni continue e anche la loro sovrapposizione è continua.

Rudin W. - Principi di analisi matematica- (1976) pagina 86. Teorema 4.7

Supponiamo$X,Y,Z$sono spazi metrici,$E \subset X$,$f$mappe$E$in$Y$,$g$mappa la gamma di$f,f(E)$, in$Z$, e$h$è la mappatura di$E$in$Z$definito da$h(x)=g(f(x)), x \in E$. Se$f$è continuo nel punto$p \in E$e$g$è continua nel punto$f(p)$, poi$h$è continuo a$p$.

Answer 2

Partiamo dalla definizione di limiti multivariati: dire$\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}=L$è equivalente a$$\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall(x,\,y)\left(0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-L\right|<\epsilon\right).$$Possiamo dimostrarlo per$L=1$utilizzando$$\forall\epsilon>0\exists\delta^\prime>0\forall(x,\,y)\left(0<|x+y|<\delta^\prime\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-1\right|<\epsilon\right).$$Dobbiamo solo scegliere$\delta$in termini di$\delta^\prime$Così$\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to|x+y|<\delta^\prime$. È sufficiente prendere$\delta=\delta^\prime/2$(la dimostrazione è un esercizio); infatti basta prendere$\delta=\delta^\prime/\sqrt{2}$(la prova è un esercizio leggermente più difficile).