Caratterizzazione di spettri discreti automorfi
Recentemente ho appreso della decomposizione spettrale automorfica dal libro "Spectral decomposition and Eisenstein series" di Moeglin e Waldspurger. (Fammi chiamare MW)
Ho una domanda sulla caratterizzazione degli spettri discreti.
Lasciatemi spiegare la notazione di base come in MW.
Permettere$G$essere un gruppo riduttivo connesso su un campo algebrico$k$e$\xi$essere un carattere unitario di$Z_G(A)$.
Permettere$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$essere$L^2$-funzioni attive$G(k)\setminus G(A)$con carattere centrale$\xi$.
Quindi,$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$si decompone nello spazio generato dai residui iterati della serie di Eisenstein e dal suo complemento, che è descritto dagli integrali diretti della serie di Eisenstein.(MW, IV 2.1)
Fammi chiamare il primo spazio$L^2_d$.
(Penso che$L^2_d$è la chiusura dell'intervallo di$L^2$forme automorfe in$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$.)
Consentitemi di chiamare la parte semi-semplice ie somma diretta di Hilbert di sottorappresentazioni topologicamente irriducibili di$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$, da un nome$L^2_{ss}$.
Definizione di spettro discreto e proprietà continue e fondamentali
Nell'articolo sopra, si chiama spettro discreto.
Le mie domande sono
- Sono$L^2_d$e$L^2_{ss}$lo stesso?
- Se sì, come dimostrarlo? Possiamo dimostrarlo mediante l'analisi funzionale elementare (es. la conoscenza del libro "Analisi Funzionale" di Walter Rudin) come la dimostrazione del teorema di Gelfand-Graev-Patetski-Shapiro cioè come nel caso cuspidale?
Penso che sia ovvio che$L^2_d$contiene$L^2_{ss}$, ma mi chiedo se sia vero il contrario. Gradirei qualsiasi indizio per risolvere questa domanda. Grazie!
Modificato: ho aggiunto un'altra domanda e definizione di$L^2_{ss}$in linea con i commenti. Grazie per i commenti!
Risposte
È vero per ammissibilità di$L^2_{d}$.
pretesa 1. $L^2_{d}$è ammissibile.
Schizzo della dimostrazione
Se il tipo K è fisso, ci sono possibilità finite di caratteri infinitesimi di forme automorfe con il tipo K e in$L^2_{d}$,dal teorema di ammissibilità di Harish-Chandra per rappresentazioni cuspidali e costruzioni di residui di serie di Eisenstein.(cfr. MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3)
Quindi, sempre per il teorema di ammissibilità di Harish-Chandra, lo spazio$L^2_{d}$è ammissibile.
rivendicazione 2 Rappresentazioni unitarie ammissibili di G($\mathbb{A}$) sono semisemplici.
Schizzo della dimostrazione
Basta mostrare che ogni rappresentazione unitaria ammissibile diversa da zero ha una sottorappresentazione irriducibile. (Quindi segue per il lemma di Zorn.)
Sia$\pi$essere una rappresentazione unitaria ammissibile diversa da zero. Quindi, c'è un insieme finito di tipi K$\mathcal{F}$tale che$\mathcal{F}$-parte tipica di$\pi$, dire$\pi_\mathcal{F}$è diverso da zero.
Permettere$e_\mathcal{F}$essere il corrispondente idempotente nell'algebra di Hecke di G,$\mathcal{H}(G)$, e lascia$\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$essere$e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$.(cfr. Corvallis p183, articolo di Flath, e capitolo I di Knapp-Vogan.)
Poi$\pi_\mathcal{F}$ha una sottorappresentazione irriducibile,$\rho_\mathcal{F}$di$\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$e genera G($\mathbb{A}$)-sottospazio$\rho$.
Lo affermiamo$\rho$è irriducibile.
Altrimenti,$\rho$decompone la somma diretta di due sottospazi chiusi propri$\rho_{1}$e$\rho_{2}$.
Proiezione su$\rho_\mathcal{F}$, entrambi$(\rho_i) _\mathcal{F}$è diverso da zero. Per irriducibilità di$\rho_\mathcal{F}$, entrambi$(\rho_i)$è uguale a$\rho$e contraddizione. (Per completare questa dimostrazione, dobbiamo usare alcune analisi funzionali, per esempio vedere 1.6.6 dei veri gruppi riduttivi di Wallach.)