Come calcolare la distanza di $k=0$ codice stabilizzatore?
Questo potrebbe essere visto come un seguito alla domanda " Come calcolare la distanza del codice stabilizzatore? ". Riassumendo la risposta accettata: la distanza è il peso minimo del set$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ dove $S$ è il gruppo stabilizzatore (generato da $K_n$è nella domanda precedente), e $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ è il suo normalizzatore nel gruppo dell'ordine Pauli $2^{2N+1}$ (dove $N$= numero di qubit; utilizzando la versione reale del gruppo qui).
La mia domanda è la seguente: questo vale per $k=0$codici stabilizzatore? Sospetto che non sia sempre valido ma non riesco a trovare un riferimento per esso ... sembra funzionare per la maggior parte dei casi, ma anche alcuni semplici contro esempi sono facili da trovare: prendi lo stato GHZ$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, con $K_1=X_1X_2$ e $K_2=Z_1Z_2$. In questo caso,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, quindi il set $E$è vuoto. Qualcosa è ovviamente rotto in questo processo: penso che la distanza dovrebbe essere 2. Cosa sta succedendo qui?
Risposte
Nota che nel caso $k = 0$, il "codice" dello stabilizzatore è un file $2^0 = 1$sottospazio dimensionale dello spazio di Hilbert, vale a dire che consiste in un singolo stato stabilizzatore. Ciò avrà effetti alquanto negativi sulle caratteristiche come la "distanza" del codice.
La "distanza del codice" è infine definita in termini di peso minimo di un operatore Pauli $E$ che non è 'rilevabile' (con questo intendo distinguibile dall'identità) secondo le condizioni di Knill-Laflamme: $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ dove $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$sono stati nel codice. Nel caso di un sottospazio unidimensionale, c'è solo un singolo stato$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. Così avremmo preso$j,k \in \{ 0 \}$, In modo che la $\delta_{j,k}$ termine è sempre uguale a $1$. Ma questo significa che semplicemente definendo$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, la condizione Knill – Laflamme è sempre soddisfatta. Pertanto, la 'distanza' del codice è definita per a$k = 0$ codice stabilizzatore come minimo sul set vuoto.
Utilizzando l'approccio meno astratto per i codici stabilizzatori, di considerare i pesi degli operatori Pauli che sono nel normalizzatore del codice, tenere presente che stiamo parlando quindi di operatori che mappano lo spazio del codice a se stesso, ma non sono proporzionali a un membro del gruppo stabilizzatore. Ma per$k = 0$ operatori che mappano lo stato $\lvert \psi \rangle$a se stesso sono necessariamente proporzionali agli stabilizzatori, quindi non esiste un tale operatore. Ancora una volta, stiamo considerando il peso minimo su un insieme vuoto di operatori.
Secondo le vostre convenzioni, potrebbe essere sensato parlare della distanza come infinita ; ma in pratica sarebbe meglio dire che la distanza è indefinita.
Nella carta classica https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, a pagina 10, la distanza di un file $[n,0]$il codice è definito come il più piccolo peso diverso da zero di qualsiasi stabilizzatore nel codice. L'interpretazione fisica per questa definizione data è: "An$[[n, 0, d]]$ code è uno stato quantistico tale che, se sottoposto a una decoerenza di $[(d − 1)/2]$ coordinate, è possibile determinare esattamente quali coordinate sono state decerate. "