Come capire l'orbita delle dimensioni $1$ in questo caso
Sono un principiante che studia da solo nella teoria dei gruppi, quindi per favore sopporta questa domanda che potrebbe avere alcune semplici risposte. Dato un$p$-gruppo $G$ per qualche primo $p$, permettere $H$ essere un sottogruppo di $G$. Permettere$X$ essere l'insieme di tutti i coniugati di $H$.
Adesso, $H$ agisce su $X$per coniugazione. Ho letto che almeno ce ne sono$p$ orbite di dimensione $1$ nel $X$.
Un esempio di un'orbita con dimensioni $1$ è $\{H\} \in X$. Questo esempio segue da allora$aHa^{-1}=H$ per ogni $a \in H$ da $H$ è un sottogruppo e abbiamo $\text{Orb}(H)=H$.
Ma da allora l'ho letto $p$ è primo, che ci siano almeno $p-1$ altre orbite di dimensione $1$. Quindi dovrebbe esserci un'altra orbita$gHg^{-1} \neq H$ di dimensioni $1$ nel $X$.
Quello che non capisco è come $gHg^{-1}$ potrebbe essere di dimensioni $1$ sotto l'azione di $H$. Questo non dovrebbe significare quello$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ e $\text{Orb}(gHg^{-1})$ potrebbe non essere necessariamente uguale a $gHg^{-1}$. Tuttavia, dovrebbe avere dimensioni$1$, che significa che $\text{Orb}(gHg^{-1})$ dovrebbe infatti essere uguale a $gHg^{-1}$.
Per riferimento, questo risultato proviene dal Teorema di Rotman 4.6, in cui non sono state imposte condizioni aggiuntive $H$ e $G$ salvo che $H$ è un sottogruppo di $p$-gruppo $G$ ... Cosa mi manca qui?
Risposte
La prima cosa da notare è che se $|X| = 1$ allora non avremo $p-1$ altre orbite quindi dovremo anche assumere $|X| \gt 1$.
Useremo queste due proprietà delle orbite per dimostrare la nostra affermazione:
Le orbite sono disgiunte e la loro unione è l'intero set $X$ (questo dovrebbe essere facile da vedere).
La dimensione dell'orbita divide l'ordine dei gruppi (questo è dimostrato nel teorema dello stabilizzatore dell'orbita)
Per proprietà (1) abbiamo quello $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ dove $\mathcal{O}$è l'insieme contenente tutte le orbite dell'azione. Adesso ci dividiamo$\mathcal{O}$ in due sottoinsiemi disgiunti: $\mathcal{O'}$ e $\mathcal{O''}$ dove $\mathcal{O'}$ è l'insieme di tutte le orbite di dimensione $1$ e $\mathcal{O''}$ è l'insieme di tutte le orbite di dimensione maggiore di $1$. Questo significa$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ da $|Y'| = 1$. Per proprietà (2) lo sappiamo$|Y''|$ divide $|X| = p^n$ e $|Y''| > 1$ che significa che $|Y''| = p^k$ dove $k > 1$ che significa $p$ divide $|Y''|$. Possiamo visualizzare$X$ come un'orbita in cui l'azione di gruppo è la coniugazione da parte del gruppo $G$. Ciò significa che$|X|$ divide $|G| = p^n$. Da$|X| > 1$ ce l'abbiamo $p$ divide $|X|$. Da$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ deve anche dividere $|\mathcal{O'}|$ che significa $|\mathcal{O'}| = pm$ per alcuni $m \gt 1$ che significa $|\mathcal{O'}| \geq p$ che è quello che stavamo cercando di dimostrare.