Come dimostrarlo $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ è il limite superiore?
Sto cercando di dimostrare che la sequenza data dalla relazione ricorsiva $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ è convergente, $a_1 = 1$.
Sono riuscito a dimostrare usando l'induzione che la sequenza è in forte aumento .
Sto usando il teorema che lo afferma
Se una sequenza è monotona e limitata, è convergente.
Pertanto, ora devo provare che esiste un limite superiore
Il mio tentativo
Userò di nuovo l'induzione.
- Per $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
- Per $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
- Per $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $
L'ho dimostrato $a_{k+1}$ è meno $M^2$ mentre nella fase di induzione l'ho affermato $a_{k+1}$ è meno di $M$. Il quadrato mi confonde e non sono sicuro di aver davvero dimostrato il limite qui, quindi pongo questa domanda
Risposte
Nota che $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$. Allora potresti farlo$M=\frac{M^2}{4}-3$ che in effetti dà $M=6$ come soluzione.
Il modo per affrontare questo tipo di problemi è solitamente il seguente.
Immagina di aver già dimostrato che la sequenza converge ... quindi $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$. Non saresti interessato a scoprire cosa$a$? Il modo per farlo è: nell'equazione$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ calcoli i limiti del lato sinistro e destro quando $n\to\infty$. Ottieni:
$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$
così $a=\sqrt{12+4a}$ il che implica $a=6$.
Quindi quello che hai dimostrato è che, se $a_n$ converge, deve convergere a $6$e nessun altro numero. Inoltre sai che converge (poiché non ti verrebbe chiesto di dimostrarlo se non fosse così!), Quindi sapendo che è in aumento monotono, lo vedi immediatamente$a_n\lt 6$, avvicinandosi $6$ "dal basso", e in effetti $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$.
Quindi, forse vale la pena provare ora a dimenticare tutto ciò che abbiamo detto fino a questo punto e dimostrarlo$a_n\lt 6$, il che significa immediatamente che la tua sequenza è monotonicamente crescente e limitata, quindi convergente.
E, infatti (prova per induzione), $a_1=5\lt 6$ e se $a_n\lt 6$, poi $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$.
Suggerimento: dimostralo per induzione $a_n \leq 6$ per tutti $n$.