Come fa $A$ si riferiscono a $B$ Se $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$?
Per $A \geq B$, entrambi sono numeri interi strettamente positivi, qual è la relazione tra $A$ e $B$ tale che quanto segue è vero? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$
In precedenza ho posto questa domanda può essere qui , e un controesempio ha dimostrato di smentirlo. Ora vorrei chiedere se possiamo trovare le condizioni (un'espressione in termini di$A$ e $B$) in modo che quanto sopra sia vero.
Una cosa che ho notato (una generalizzazione dalla risposta di @Clement Yung nel mio post originale - grazie!) È che if $B = \lceil A/k \rceil$ (per qualsiasi costante $k$), quanto sopra è falso. Mi chiedo se ci siano altri casi tali che sia falso, o se sia meglio se ci siano condizioni per quando è sempre vero.
Risposte
Considera in primo luogo il caso in cui $A=B$ e poi $A/B=1$. In questo caso,$\lfloor A/B\rfloor=\lceil A/B\rceil=1$, in modo che la disuguaglianza del PO si riduca a
$$A-3\lfloor A/B \rfloor \leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-3\leq A $$
il che è banalmente vero.
Se $A/B>1$, poi $\lfloor A/B\rfloor+1=\lceil A/B\rceil$, in modo che la disuguaglianza diventi
$$A-3\lfloor A/B \rfloor -1\leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-(B+3)\lfloor A/B \rfloor -1\leq 0$$ $$\lfloor A/B \rfloor\geq \frac{A-1}{B+3}$$
Questa è la condizione necessaria per soddisfare la disuguaglianza iniziale del PO.
Ad esempio, if $A=5$ e $B=2$, quindi la condizione è soddisfatta da allora $$\lfloor 5/2 \rfloor=2 > \frac{5-1}{2+3}=\frac 45$$
Di conseguenza, per questi valori vale la disuguaglianza iniziale, così come dà
$$5-2-3\leq 2\cdot 3$$ $$0\leq 6$$
Come altro esempio, se $A=12$ e $B=7$, quindi la condizione non è soddisfatta da allora $$\lfloor 12/7 \rfloor=1 < \frac{12-1}{7+3}=\frac {11}{10}$$
Di conseguenza, per questi valori la disuguaglianza iniziale non regge, poiché darebbe
$$12-1-2\leq 1\cdot 7$$ $$9\leq 7$$
$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ Considera la scrittura $A = NB + k$ per alcuni $N \in \Bbb{Z}^+$ e $0 \leq k < B$. Consideriamo due casi.
Se $k = 0$ (es $A$ è un multiplo di $B$), allora possiamo riscrivere la disuguaglianza come: \ begin {align *} A - \ f {A / B} - \ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff NB - 2N \ leq N (B + 1) \\ & \ iff -2N \ leq N \\ & \ iff N \ geq 0 \ end {align *} che vale sempre. Se$k > 0$, quindi: \ begin {align *} A - \ f {A / B} - \ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff (NB + k) - N - (N + 1) \ leq N (B + 1) \\ & \ iff k - 2N - 1 \ leq N \\ & \ iff 3N + 1 \ geq k \ end {align *} Per un fisso$B \in \Bbb{Z}^+$, ora possiamo classificare tutti i numeri interi $A$ tale che la disuguaglianza è soddisfatta considerando il valore di $k$ (cioè il resto di $A$ quando diviso per $B$, che assume un numero limitato di valori possibili). In particolare, se$3N + 1 \geq B - 1$, allora la disuguaglianza è immediatamente soddisfatta.