Come fa $\min\limits_{0<n<N} \{n\pi\}$ scala con $N$ ( $\{\cdot\}$ denota la parte frazionaria)

Question

Permettere $x$ essere un numero irrazionale (sarei felice della risposta alla domanda per una scelta specifica come $\pi$). Secondo

Per $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, il set $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ è denso $[0,1)$,

il set $\{nx\}$ è denso $[0,1]$, dove $\{\cdot\}$è la parte frazionaria. Quindi,$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\}$$ converge a $0$ per $N\rightarrow\infty$. C'è qualcosa di noto sul ridimensionamento di questa serie, come$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\operatorname{ln}(N)}\right)$$

Answer 1

In generale non si può dire molto di più $$m(N) = m_x(N) := \min_{0 < n < N}\: \lbrace nx\rbrace$$ di $m(N) \to 0$. Mentre per ogni irrazionale$x$ ce ne sono infinitamente tanti $N$ con $m(N) < \frac{1}{N}$, per ogni funzione $f \colon \mathbb{N} \to (0,+\infty)$ con $f(N) \to 0$ possiamo trovare (innumerevoli) irrazionali $x$ con $$\limsup_{N \to +\infty} \frac{m_x(N)}{f(N)} = +\infty\,.$$ In tal senso, $m_x$ può tendere a $0$arbitrariamente lentamente. Ma euristicamente il comportamento tipico è quello$m_x(N)$ non tende a $0$ molto più lentamente di $\frac{1}{N}$.

Capire $m$possiamo usare l' espansione della frazione continua (in particolare, la semplice espansione della frazione continua) di$x$.

Poiché, per quanto ne so, non sappiamo molto sulla continua espansione della frazione di $\pi$ ("conosciamo" i primi diversi miliardi di termini, ma non quello che accade dopo), non possiamo (ancora) escludere che $m_{\pi}(N)$ tende a $0$ molto molto lentamente. Ma ci aspettiamo che non sia così.

D'altra parte, per ogni $x$ la cui espansione della frazione continua ha dei quozienti parziali limitati (chiamati "coefficienti" o "termini" nell'articolo di wikipedia), in particolare per tutte le irrazionali quadratiche (queste hanno frazioni continue periodiche), abbiamo $m_x(N) \asymp \frac{1}{N}$, quindi cose come $m_{\sqrt{2}}$può essere analizzato piuttosto bene. La continua espansione della frazione di$e$ ha quozienti parziali illimitati, ma ha uno schema regolare noto, e lo abbiamo $m_e(N) \in \mathcal{O}\bigl(\frac{\log N}{N}\bigr)$.

Diamo un'occhiata alle frazioni continue (semplici). L'indicizzazione inizia con$0$, il $k^{\text{th}}$ convergente all'irrazionale $x$ con espansione frazione continua $[a_0, a_1, a_2, \dotsc]$ deve essere indicato con $p_k/q_k$, il $k^{\text{th}}$ quoziente completo $[a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$ di $\alpha_k$.

La prima osservazione importante è che le convergenti sono alternativamente più piccole e più grandi di $x$, noi abbiamo $$x - \frac{p_k}{q_k} = (-1)^k\cdot \delta_k$$ con $0 < \delta_k < 1$. (Abbiamo limiti superiori molto migliori per$\delta_k$, ma qui mi interessa solo il segno della differenza.)

Un altro fatto importante è che i convergenti danno le migliori approssimazioni razionali a $x$ in un senso molto forte:

Permettere $k > 1$. Quindi per tutti i numeri interi positivi$q < q_{k+1}$ e tutti i numeri interi $p$ noi abbiamo $$\lvert qx - p\rvert \geqslant \lvert q_k x - p_k\rvert \tag{1}$$ con uguaglianza se e solo se $p = p_k$ e $q = q_k$.

Definiamo i numeri positivi $\varepsilon_k$ di $q_k x - p_k = (-1)^k\varepsilon_k$. A partire dal$(1)$ ne consegue che $$m(q_{2k} + 1) = m(q_{2k+1}) = \varepsilon_{2k}$$ per tutti $k \geqslant 1$. La ricorrenza per i convergenti insieme a$\alpha_k = a_k + \frac{1}{\alpha_{k+1}}$ rendimenti \begin{align} \varepsilon_k &= \lvert q_{k}x- p_{k}\rvert \\ &= \Biggl\lvert q_{k}\frac{\alpha_{k}p_{k-1} + p_{k-2}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} - p_{k}\Biggr\rvert \\ &= \frac{\bigl\lvert \alpha_{k}\bigl(p_{k-1}q_{k} - p_{k}q_{k-1}\bigr) + \bigl(p_{k-2}q_{k} - p_{k}q_{k-2}\bigr)\bigr\rvert}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{\alpha_{k} - a_{k}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}\bigl(q_{k} + \frac{q_{k-1}}{\alpha_{k+1}}\bigr)} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}q_{k} + q_{k-1}} \\ &= \frac{1}{a_{k+1}q_{k} + q_{k-1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &= \frac{1}{q_{k+1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &< \frac{1}{q_{k+1}}\,. \end{align} Così abbiamo $$m_x(N) < \frac{1}{N}$$ almeno per tutti $N$ tale che ci sia un file $k \geqslant 1$ con $q_{2k} < N \leqslant q_{2k+1}$, e ovviamente ce ne sono infinitamente molti (almeno uno per ciascuno $k$).

D'altra parte, tra $q_{2k+1}$ e $q_{2k+2}$possono succedere cose brutte. Per prima cosa notiamo che abbiamo sempre$$\frac{1}{2q_{k+1}} < \varepsilon_k < \frac{1}{q_{k+1}}$$ e $a_{k+2}q_{k+1} < q_{k+2} = a_{k+2}q_{k+1} + q_k < (a_{k+2} + 1)q_{k+1}$ per $k \geqslant 1$. Inoltre, per$1 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ noi abbiamo $$\varepsilon_{2k} > (q_{2k} + rq_{2k+1})x - (p_{2k} + rp_{2k+1}) = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} \geqslant \varepsilon_{2k+2}\,.$$ Vediamo che i denominatori $q_{2k} + rq_{2k+1}$ produrre nuovi minimi per $\{n x\}$ (in realtà non ancora, dobbiamo considerare anche altri $q$ fra $q_{2k+1}$ e $q_{2k+2}$, ma scrivendo un tale file $q$ Nella forma $q_{2k} + rq_{2k+1} + s$ con $0 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ e $0 \leqslant s < q_{2k+1}$ possiamo usare $(1)$ per vederlo $\{q x\} > \varepsilon_{2k}$ quando $s \neq 0$), ma diminuiscono piuttosto lentamente.

Supponiamo ora il quoziente parziale $a_{2k+2}$ è molto grande e scegli $r \approx \frac{a_{2k+2}}{2}$. Quindi per$n = q_{2k} + rq_{2k+1}$ noi abbiamo $$\{nx\} = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} = \varepsilon_{2k} - \frac{r}{a_{2k+2}}\bigl(\varepsilon_{2k} - \varepsilon_{2k+2}\bigr) \approx \frac{1}{2}\varepsilon_{2k} > \frac{1}{4q_{2k+1}}$$ e $n > rq_{2k+1} > a_{2k+2}$ (da $q_{2k+1} > 2$ per $k \geqslant 1$). Dato qualsiasi$f \in o(1)$ e parte iniziale $[a_0, a_1, \dotsc, a_{2k+1}]$ di una frazione continua, possiamo sempre scegliere $a_{2k+2}$ così grande che $$\frac{1}{4 q_{2k+1} f(a_{2k+2})} > e^{k^4}\,,$$ dire.

Così $m_x$ può tendere a $0$ lentamente se la frazione continua di $x$ ha enormi quozienti parziali indicizzati pari (i quozienti parziali indicizzati dispari entrerebbero nel quadro se si considerassero $\max \:\{nx\}$ o equivalentemente $\min \:(1 - \{nx\})$ invece di o in aggiunta a $\min \: \{nx\}$).

Di solito, tuttavia, i quozienti parziali sono piccoli rispetto ai denominatori dei convergenti, e se li abbiamo $a_{k+1} \leqslant \varphi(q_k)$ per tutti (sufficientemente grande) $k$, Poi abbiamo $$m_x(N) \in \mathcal{O}\biggl(\frac{\varphi(N)}{N}\biggr)\,.$$ Per $x$ con quozienti parziali limitati possiamo prendere $\varphi$ come funzione costante, e per $e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,\dotsc]$ noi abbiamo $a_n \ll n$ mentre $q_n \gg c^n$ per alcuni $c > 1$, da dove $a_{k+1} \leqslant K\cdot \log q_k$.

Per $\pi = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dotsc]$ i quozienti parziali $a_2 = 15$ e $a_4 = 292$ sono grandi relativamente all'indice, ma non così grandi relativamente ai denominatori $q_1 = 7$ e $q_3 = 113$. Tra i primi$20000$quozienti parziali ce ne sono pochi di grandi dimensioni , ma relativamente ai denominatori corrispondenti$q_k$sono tuttavia molto piccoli. Ovviamente non possiamo trarne alcuna conclusione, ma finora i dati che abbiamo non lo indicano$m_{\pi}$ tende a $0$ lentamente.