Come sono collegati i presupposti di esogeneità standard e i concetti indipendenti dai risultati potenziali?

Question

Se avessimo un modello:

$y=x\beta +\eta$

e presupponeva esogeneità, quindi $E[\eta|x]$= 0, è il fatto che x o l'intensità del trattamento ora non è correlato con $\eta$ equivale a dire che x è "indipendente dai potenziali risultati?"

Answer 1

Sì, se chiamiamo il modello

$$Y = X\beta + \eta$$

"strutturale" o "causale", possiamo usarlo per definire potenziali risultati come

$$Y(x) = x\beta + \eta.$$

(Sto usando lettere maiuscole $Y$ e $X$ per variabili casuali e minuscolo $x$ per una realizzazione o costante fissa).

Quindi supponendo $E[\eta|X] = 0$, ne consegue che

$$E[Y(x)|X] = x\beta + E[\eta|X] = x\beta,$$

da cui non dipende $X$, quindi significa ignorabilità $E[Y(x)|X] = E[Y(x)]$ tiene.

Questa "definizione strutturale di controfattuali" è stata proposta da Judea Pearl, vedi ad esempio il suo libro "Causality", o il suo libro con Jewell e Glymour, "Causality: A Primer".