Come utilizzare la funzione "Covarianza" per calcolare correttamente la covarianza?

Aug 18 2020

Nota: le seguenti domande sono tratte dalla 23a domanda dell'esame di ammissione in matematica per laureati cinesi del 2005 (prima serie):

Supponiamo$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$è un semplice campione casuale dalla popolazione$\mathrm{N}(0,1)$, e$\bar{X}$è la media campionaria ($\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$),$Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$,$i=1,2, \cdots, n $.

Ora dobbiamo risolvere i seguenti problemi:

(1) La varianza$D Y_{i}$di$Y_{i}$,$i=1,2, \cdots, n $.

(2) la covarianza$\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$di$Y_{1}$e$Y_{n}$.

Uso n = 10come caso speciale per risolvere questo problema:

Y1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y1]
Y10 = TransformedDistribution[x[10] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y10]
Covariance[Y1, Y10]
Correlation[Y1, Y10]

Ma il codice sopra non può ottenere la covarianza di Y1e Y10correttamente (la risposta di riferimento è$-\frac{1}{10}$). Come posso utilizzare la funzione Covarianceper risolvere questo problema?

Risposte

3 JimB Aug 18 2020 at 11:06

Dovresti usare una notazione che separi le variabili casuali dalle loro distribuzioni. Il seguente codice dovrebbe darti le varianze e le covarianze desiderate:

n = 10; 
distY1Yn = TransformedDistribution[{x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n}, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Covariance[distY1Yn]
(* {{9/10, -(1/10)}, {-(1/10), 9/10}} *)
Correlation[distY1Yn]
(* {{1, -(1/9)}, {-(1/9), 1}} *)

distY1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distY1]
(* 9/10 *)

distYn = TransformedDistribution[x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distYn]
(* 9/10 *)