Comprendere la prova di: Ogni funzione convessa è continua

Question

Sto cercando di capire la seguente prova:

Teorema 2.10. Se$f$ è una funzione convessa definita su un intervallo aperto $(a, b)$ poi $f$ è continuo $(a, b)$

Prova. Supponiamo$f$ è convesso $(a, b),$ e lascia $[c, d] \subseteq(a, b) .$ Scegliere $c_{1}$ e $d_{1}$ tale che $$ a<c_{1}<c<d<d_{1}<b. $$ Se $x, y \in[c, d]$ con $x<y,$ abbiamo dal Lemma 2.9 (vedi Figura 4$)$ quello $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(d)-f(y)}{d-y} \leq \frac{f\left(d_{1}\right)-f(d)}{d_{1}-d} $$ e $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq \frac{f(c)-f\left(c_{1}\right)}{c-c_{1}}, $$ mostrando il set $$ \left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|: c \leq x<y \leq d\right\} $$ è delimitato da $M>0 .$ Segue $|f(y)-f(x)| \leq M|y-x|,$ e quindi $f$ è uniformemente continua $[c, d] .$ Ricordando che la continuità uniforme implica continuità, lo abbiamo dimostrato $f$ è continuo $[c, d] .$ dall'intervallo $[c, d]$ era arbitrario, $f$ è continuo $(a, b)$. ${}^2$ $\square$

(trascritto da questo screenshot)

Le mie domande :

1. Dove sono finiti i valori del modulo nell'espressione $\left\{\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\right\}$ vieni da?
2. Che dire $M=0$? Penso che anche questo caso dovrebbe essere affrontato, sebbene sia banale. Penso che l'idea sia che se$M=0$, poi $f$è costante e quindi continuo. Ma come possiamo dimostrarlo rigorosamente?

Answer 1

Dal momento che l'autore ha trovato i numeri $\alpha$ e $\beta$ tale che hai sempre, quando $c\leqslant x<y\leqslant d$,$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leqslant\alpha$$e$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geqslant\beta,$$poi il set$$\left\{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$è limitato e quindi l'insieme$$\left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$è anche limitato. Quindi, puoi prenderne un po '$M>0$ tale che$$c\leqslant x<y\leqslant d\implies\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<M.$$E da quando hai scattato $M>0$, non è necessario preoccuparsi della possibilità che $M=0$.

Answer 2

1. In questa dimostrazione usiamo qualcosa di equivalente alla continuità uniforme su un insieme limitato, vale a dire la continuità di Lipschitz, ed è anche da qui che proviene questa espressione. Si dovrebbe dimostrare che la continuità di Lipschitz implica una continuità uniforme ma che spesso viene tralasciata, poiché vista come elementare.
2. Non vedo perché $M=0$ dovrebbe essere affrontato separatamente, come qualsiasi funzione che soddisfi la disuguaglianza con $M=0$ soddisferà la disuguaglianza per qualsiasi positivo $M$.