Comprensione di una variante del teorema multinomiale in un anello commutativo con unità

Question

Questo post riguarda la sezione del Capitolo 1 "Il teorema multinomiale" alle pagine 65-67 di Analysis I di Amann ed Escher.

Estratti dal testo:

La parte che non riesco a capire è l'equazione con la somma in questo estratto.

Il teorema multinomiale (indicato di seguito) è stato dimostrato immediatamente prima.

Notazione:

Nel caso in cui la notazione non sia chiara, abbiamo il multiindice $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_m) \in \mathbb N^m$e la sua lunghezza è $\lvert \alpha \rvert := \sum_{j = 1}^m \alpha_j$. abbiamo$\alpha ! := \prod_{j = 1}^m (\alpha_j)!$. Abbiamo anche$a^{\alpha} := \prod_{j = 1}^m (a_j)^{\alpha_j}$.

Domande e commenti:

Lo presumo $1 = 1_R$nell'equazione non capisco. Ho difficoltà a spiegarmi perché la forma della somma nell'equazione che non capisco è diversa dalla forma della somma (a destra) nel teorema multinomiale (8.4).

La prima frase della dimostrazione non è difficile da capire. Tuttavia, la seconda frase non ha senso per me. Mi dispiace di non poter essere più specifico. Immagino che chiederei perché abbiamo bisogno di questa forma speciale (l'equazione che non capisco) quando nel teorema multinomiale, uno qualsiasi dei$a_j$ potrebbe essere uguale a $1$Comunque? Non riesco a conciliare i due.

Apprezzo qualsiasi aiuto.

Answer 1

Esattamente come dici tu, il teorema 8.5 può essere applicato agli elementi $(a_1,\dots,a_m,a_{m+1})$ dove $a_{m+1}=1=1_R$.

E questo è ciò che accade nella dimostrazione dell'osservazione 8.6 (a). Permettere$b$ denota la sequenza $(a_1,\dots,a_m,1)$ e nota quello $b^\beta=a^\alpha$ per il segmento iniziale $\alpha:=(\beta_1,\dots,\beta_m)$ di una sequenza esponente $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_m,\beta_{m+1})$ perché $1^{\beta_{m+1}}=1$.
Nota anche che il segmento iniziale$\alpha$ determina in modo univoco l'ultimo termine, quindi l'intera sequenza $\beta$ se assumiamo $|\beta|=k$: in particolare $\beta_{m+1}$ deve essere allora $k-|\alpha|$, e $\alpha$ può essere qualsiasi sequenza di esponenti con $\ |\alpha|\,\le \,k$.

Usando questa corrispondenza otteniamo $$(1+a_1+\dots+a_m)^k \ =\ \sum_{|\beta|=k} \frac{k!}{\beta!}b^\beta\ =\\ =\ \sum_{\matrix{|\alpha|\,\le\,k \\ \beta:=(\alpha_1,\dots,\alpha_m,k-|\alpha|)}} \frac{k!}{\beta!}b^\beta\ =\ \sum_{|\alpha|\le k} \binom k\alpha a^\alpha\ \ \ .$$