Considera una rete di unità di ordine debole in uno spazio di Riesz che convergono in un'unità di ordine debole. C'è una coda il cui minimo è un'unità di ordine debole?

Question

Permettere $X$ essere uno spazio compatto di Hausdorff estremamente disconnesso (la chiusura di un insieme aperto è aperto) e considerare lo spazio di Riesz $C^\infty(X)$ di funzioni continue da $X$ alla linea del numero reale estesa $\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ tale che la preimage di $\mathbb{R}$ è denso $X$. Secondo il teorema di Ogasawara, questo è un prototipo di spazio Reisz universalmente completo.

Una rete $(x_i)_i$ in uno spazio di Reisz converge per $x$ se esiste una rete decrescente $(y_j)_j$ con minimo zero tale che per qualsiasi $j$ C'è un $i_0$ con $|x_i-x|\le y_j$ per tutti $i\ge i_0$.

Supponiamo $(f_i)_i$ è una rete di unità di ordine debole (funzioni invertibili positive) in $C^\infty(X)$, cioè per ogni $f_i$ il set $\{x\in X\colon f_i(x)>0\}$ è denso $X$, che converge in un'unità di ordine debole $f$. È quindi vero che esiste un file$i_0$ tale che $\inf_{i\ge i_0}f_i$ è un'unità di ordine debole?

Answer 1

Non è vero. Permettere$X = \beta \mathbb{N}$, così che $C(X) \cong l^\infty$. Per ciascuno$i, k\in \mathbb{N}$ permettere $f_{i,k}$ essere la funzione che è costantemente $1$ sopra $\{1, \ldots, i\}$ e costantemente $\frac{1}{k}$ sul resto di $X$. Lascia pure$g_i$ essere la funzione che è costantemente $0$ sopra $\{1, \ldots,i\}$ e costantemente $1$ sul resto di $X$.

Ordina l'indice impostato da $(i,k) \leq (i', k')$ Se $i\leq i'$ e $k \leq k'$. La sequenza$(g_i)$ è decrescente con zero minimo, e per ciascuno $i$ noi abbiamo $|f_{i',k} - 1_X| \leq g_i$ per tutti $i' \geq i$ e tutto $k$. Così$(f_{i,k})$ converge per $1_X$. Ma per qualsiasi$i_0$, $k _0$ l'ultimo di tutti dopo $f_{i,k}$ è costantemente zero fuori $\{1, \ldots, i_0\}$.